Encontrar el anillo de enteros de $\Bbb Q(\sqrt[4]{2})$

Question

Sé$^{(1)}$ que el anillo de enteros de $K=\Bbb Q(\sqrt[4]{2})$ $\Bbb Z[\sqrt[4]{2}]$ y me gustaría probarlo.

Una pregunta relacionada es este uno, pero no responder a las minas. Yo calcula rápidamente el discriminante $\text{disc}(1,\sqrt[4]{2},\sqrt[4]{4},\sqrt[4]{8})=-2^{11}$. De acuerdo a esta respuesta, esto significa que $\mathcal{O}_K \subset \frac{1}{m}\Bbb Z\left[\sqrt[4]{2}\right]$ donde $m$ es un número entero cuyo cuadrado se divide $2^{11}$, lo $m=1,2,2^2,\dots,2^5$ son posibles. Pero ¿cómo podía descartar los valores de $m>1$?

Soy consciente de que puede ser un problema difícil. Cualquier referencia proporcionar una descripción de $\mathcal{O}_{\Bbb Q(\sqrt[4]{2})}$ sería satisfactoria. Voy a estar agradecido por la ayuda!

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$^{(1)}$ He probado con SAGE el siguiente código

K.<a> = NumberField([x^4-2]);
K.integral_basis()

y yo tengo la respuesta esperada, es decir,$[1,a,a^2,a^3]$.

Answer 1

Siguiendo el enfoque de Keith Conrad, supongamos que $$\alpha = a + b \sqrt[4]2+c\sqrt[4]4+d\sqrt[4]8,\quad a,b,c,d\in\mathbb Q$$ es un elemento de $\mathcal O_K$. Vamos a mostrar que el $\alpha\in\mathbb Z[\sqrt[4]2]$. El cálculo de las huellas, $$ \mathrm{Tr}_{K/\mathbb Q}(\alpha) = 4a\\ \mathrm{Tr}_{K/\mathbb Q}(\sqrt[4]2\alpha) = 8d\\ \mathrm{Tr}_{K/\mathbb Q}(\sqrt[4]4\alpha) = 8c\\ \mathrm{Tr}_{K/\mathbb Q}(\sqrt[4]8\alpha) = 8b $$ son todos los números enteros, y por lo tanto, los denominadores de $a,b,c$ $d$ sólo puede involucrar a los poderes de $2$.

Esto nos permite solucionar nuestro problema $2$-adically - de hecho, es suficiente para mostrar que $\mathcal O_{\mathbb Q_2(\sqrt[4]2)} = \mathbb Z_2[\sqrt[4]2]$, ya que si $\alpha=\frac{1}{2^k}\alpha'$ donde$\alpha'\in\mathbb Z[\sqrt[4]2]$, $\alpha$ sólo puede ser un elemento de $\mathbb Z_2[\sqrt[4]2]$ si $k\le 0$.

Pero $\mathbb Q_2(\sqrt[4]2)$ es totalmente ramificado, con uniformiser $\sqrt[4]2$ (a través de la observación, o desde la $X^4-2$ es de Eisenstein en $2$), por lo que se deduce por Lema $1$ en Conrad notas que $\mathcal O_{\mathbb Q_2(\sqrt[4]2)} = \mathbb Z_2[\sqrt[4]2]$. Por lo tanto $\mathcal O_K = \mathbb Z[\sqrt[4]2]$.