Desigualdad isoperimétrica, desigualdad isodiamétrica, conjetura del hiperplano... ¿qué desigualdades de este tipo se conocen o conjeturan?

Question

Pregunta: ¿Qué desigualdades similares a la famosa desigualdad isoperimétrica se conocen? ¿se conjetura?

Hace poco conocí algunas desigualdades que son similares a la famosa desigualdad isoperimétrica. Cada vez que consideramos dos funcionales de tamaño $\Sigma$ et $\Sigma'$ y a lo largo de todo el cuerpos convexos (convexo y compacto) $K$ en $\mathbb{R}^d$ satisfaciendo $\Sigma'(K)=1$ damos un límite para $\Sigma(K)$ . Por ejemplo, en $\mathbb{R}^2$ con $\Sigma=\mathrm{Area}$ y $\Sigma'=\mathrm{Perimeter}$ tenemos un límite superior dado por la famosa desigualdad isoperimétrica .

Si $\Sigma$ (resp. $\Sigma'$ ) es homogénea de grado $k$ (resp. $k'$ ). El problema es equivalente a dar un límite a $$\frac{\Sigma(K)^{1/k}}{\Sigma'(K)^{1/k'}}$$ para todos $K$ con $\Sigma'(K)\neq 0$ . A continuación, enumero las desigualdades que he encontrado y doy una definición bastante general de lo que considero funcionales de tamaño.

• El _desigualdad isoperimétrica clásica en dimensiones superiores_ establece que para cualquier cuerpo convexo $K$ en $\mathbb{R}^d$ con un resultado positivo $(d-1)$ - volumen intrínseco tenemos

  $$0<\frac{V_d(K)^{1/d}}{V_{d-1}(K)^{1/(d-1)}}\leq \frac{V_d(\mathrm{Ball})^{1/d}}{V_{d-1}(\mathrm{Ball})^{1/(d-1)}}$$

donde $V_d$ es el $d$ -volumen dimensional, $V_{d-1}$ el $(d-1)$ -Volumen intrínseco (dos veces el perímetro si $d=2$ y el doble de superficie si $d=3$ ), y $\mathrm{Ball}$ es cualquier $d$ -bola de dimensiones.

• El desigualdad isodiamétrica afirman que para cualquier cuerpo convexo $K$ en $\mathbb{R}^2$ con perímetro positivo tenemos

  $$\frac{\mathrm{Diameter}(\mathrm{Disk})}{\mathrm{Perimeter}(\mathrm{Disk})} \leq\frac{\mathrm{Diameter}(K)}{\mathrm{Perimeter}(K)} \leq\frac12$$

donde $\mathrm{Diameter}(K)$ es la distancia máxima entre dos puntos de $K$ . Ha sido demostrado por Bieberbach en 1915 (en alemán), he encontrado esta referencia en la introducción del artículo Isodiametric Problems for Polygons de Michael J. Mossinghoff. Supongo que esta desigualdad es verdadera en dimensiones más altas, pero no tengo ninguna referencia.

• _Teorema de Jung_ establece que para cualquier cuerpo convexo $K$ en $\mathbb{R}^d$ con diámetro positivo tenemos la segunda de las siguientes desigualdades (la primera es obvia)

  $$\frac{\mathrm{Outradius}(\mathrm{Disk})}{\mathrm{Diameter(\mathrm{Disk})}}\leq \frac{\mathrm{Outradius}(K)}{\mathrm{Diameter(K)}}\leq \frac{\mathrm{Outradius}(\Delta_d)}{\mathrm{Diameter(\Delta_d)}}$$

donde $\Delta_d$ es el $d$ -simplex regular de una dimensión.

• El conjetura del hiperplano afirma que existe una constante universal $C$ tal que en cualquier dimensión, para cualquier cuerpo convexo $K$ en $\mathbb{R}^d$ con volumen positivo, tenemos

  $$C\leq\frac{\mathrm{MaxSection}(K)^{1/(d-1)}}{\mathrm{Volume(K)}^{1/d}}<\infty$$

donde $\mathrm{MaxSection}(K)=\max\left(V_{d-1}(K\cap H) : H \text{ any hyperplane of }\mathbb{R}^d\right)$ es la sección hiperplana máxima de $K$ .

De forma más general, si observamos $\mathcal{K}=\mathcal{K}_d$ el conjunto de cuerpos convexos de $\mathbb{R}^d$ podemos considerar cualquier tamaño funcional $\Sigma:\mathcal{K}\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ que satisface los siguientes axiomas naturales:

1. $\Sigma$ es continua,
2. no es idéntico a cero,
3. homogéneo de algún grado $k$ Es decir: $\Sigma(\lambda K)=\lambda^k \Sigma(K)$ .
4. que aumenta bajo la inclusión de conjuntos, es decir: $K\subset M \Rightarrow \Sigma(K)\leq\Sigma(M)$
5. invariante por traslación, es decir: $\Sigma(K+x)=\Sigma(K)$ .

Esto cubre la mayoría de los funcionales de tamaño que solemos considerar:

• volumen = área en la dimensión 2,
• superficie =perímetro en la dimensión 2,
• anchura media, anchura mínima, anchura máxima (=diámetro) ,
• de anchura con una dirección determinada
• in-radio : el radio de la bola más grande incluye en $K$ ,
• radio de salida : el radio de la bola más pequeña incluye en $K$ ,
• volúmenes intrínsecos
• la sección del hiperplano máximo: $\max\left(V_{d-1}(K\cap H) : H \text{ any hyperplane of }\mathbb{R}^d\right)$
• ...

Ahora, para cualquier elección de un par de funcionales de tamaño $\Sigma$ et $\Sigma'$ de grado $k$ et $k'$ , si $K$ es un cuerpo convexo con $\Sigma'(K)\neq0$ la fracción $$\frac{\Sigma(K)^{1/k}}{\Sigma'(K)^{1/k'}}\in[0,\infty[$$ es invariable bajo la traslación o el cambio de escala de $K$ .

Estoy interesado en el límite inferior o superior de dicha fracción una vez que hemos fijado la dimensión $d$ et $\Sigma$ et $\Sigma'$ .

Answer 1

La desigualdad que conozco bajo el nombre desigualdad isodiamétrica es $$ \frac{\text{vol}(K)}{\text{diam}(K)^d} \le \frac{\text{vol}(B)}{\text{diam}(B)^d} $$ para cualquier cuerpo convexo $K$ en $\mathbb{R}^d$ , donde $B$ denota la bola unitaria.

Prueba 1: Por simetrización de Steiner (que preserva el volumen, disminuye el diámetro y tiende a la bola si se desea). Prueba 2: Si $K$ tiene un diámetro máximo de 2, entonces $K-K\subseteq 2B$ por la desigualdad de Brunn-Minkowski, $\text{vol}(K)\le\text{vol}(\frac12(K-K))$ por lo tanto $\text{diam}(K)\le\text{diam}(B)\implies \text{vol}(K)\le\text{vol}(B)$ lo que equivale a la desigualdad deseada. Nótese que la prueba 2 no utiliza realmente el hecho de que $B$ es la bola euclidiana: en realidad demuestra la afirmación análoga más general donde tomamos $B$ para ser cualquier cuerpo convexo simétrico al origen y medir diámetros en la norma cuya bola unitaria es $B$ . (La prueba 2 también arroja que esta desigualdad isodiamétrica es realmente equivalente al caso especial de Brunn-Minkowski que se utilizó). Todo lo anterior está en el reciente libro de Gruber sobre geometría convexa, por ejemplo.

Otra prueba de la generalización a normas arbitrarias fue dada por M. S. Mel'nikov ("Dependencia del volumen y el diámetro de los conjuntos en un $n$ -de Banach", Uspekhi Mat. Nauk 18 (4) 165-170, 1963, http://mi.mathnet.ru/eng/umn6384 ): el hecho clave en esa prueba es que si el diámetro de $K$ (en el sentido de $B$ ) es como máximo 2, entonces el diámetro de $K_t$ (en el sentido de $B_t$ ) también es como máximo 2, donde $K_t$ denota el conjunto de niveles de altura $t$ de la proyección de $K$ (como una densidad) en un hiperplano fijo; esto permite una demostración por inducción en la dimensión, y anticipa la demostración de la desigualdad de Prékopa-Leindler, una generalización de Brunn-Minkowski. (Para Prékopa-Leindler, véase la conferencia 5 de la obra de Keith Ball Introducción elemental a la geometría convexa moderna .)

Otra desigualdad del tipo que has preguntado es La desigualdad de Urysohn : $$ \frac{\text{vol}(K)}{w(K)^d} \le \frac{\text{vol}(B)}{w(B)^d} $$ para cualquier cuerpo convexo $K$ en $\mathbb{R}^d$ , donde $B$ denota la bola unitaria euclidiana y $w(\cdot)$ denota la anchura media. (Esta vez sí importa que sea la bola euclidiana). Ya que $w(K)\le\text{diam}(K)$ Esto es un fortalecimiento de la desigualdad isodiamétrica anterior.

Prueba 1: La simetrización de Steiner reduce la anchura media. En efecto, si $S_u$ denota la simetrización de Steiner respecto al hiperplano ortogonal a un vector unitario $u$ y $R_u$ denota la reflexión en ese hiperplano, entonces $h_{S_u(K)}(\theta)=\frac12 h_K(\theta)+\frac12 h_K(R_u(\theta))$ , donde $h_K$ denota la función de soporte de $K$ ; ahora se integran sobre $\theta\in S^{d-1}$ y utilizar la desigualdad de Jensen. (Lo he sacado de unas notas inéditas de Giannopoulos.) Prueba 2: Ver el libro de Pisier El volumen de los cuerpos convexos y la geometría de los espacios de Banach (Cambridge UP, 1989, p.6; Pisier escribe que aprendió esta prueba de Vitali Milman). En resumen, se generaliza la adición de conjuntos de Minkowski a la integración de funciones valoradas por conjuntos de Minkowski, y se obtiene un análogo de Brunn-Minkowski: $$ \int_\Omega \text{vol}(A_t)^{1/n} \,d\mu(t) \le \text{vol}\left(\int_\Omega A_t \,d\mu(t)\right)^{1/n} $$ cuando $\mu$ es una medida de probabilidad y todo es convenientemente medible. Por simetría, $\int_{O(d)} TK \,d\mu(T)$ es algún múltiplo de la bola euclidiana (aquí $O(d)$ es el grupo ortogonal en $\mathbb{R}^d$ y $\mu$ es su medida de probabilidad de Haar); un cálculo muestra que en realidad es $\frac12 w(K)B$ y el análogo de Brunn-Minkowski anterior termina la demostración.

Como se pidió en los comentarios, aquí hay un generalización a otros volúmenes intrínsecos : $$ 1\le i\le j\le d\implies \frac{V_i(B)^{1/i}}{V_j(B)^{1/j}} \le \frac{V_i(K)^{1/i}}{V_j(K)^{1/j}}$$ (El caso $i=1$ , $j=d$ es la desigualdad de Urysohn). Prueba: Un caso especial de la desigualdad de Alexandrov-Fenchel es $$ W_i(K)^2 \ge W_{i-1}(K) W_{i+1}(K) \tag{$ \N - El brindis $} $$ donde $W_i(\cdot)$ denota quermassintegrals: $$ W_i(K) = V(\underbrace{K,\dotsc,K}_{d-i},\underbrace{B,\dotsc,B}_i) = \frac{\kappa_i}{\binom di} V_{d-i}(K) $$ donde $\kappa_i$ es el volumen del $i$ -bola unitaria euclidiana. De ello se deduce que $$ i\mapsto\left(\frac{W_d(K)}{W_{d-i}(K)}\right)^{1/i} \tag{$ \N - Puñal $} $$ es una función creciente para $1\le i\le d$ . (Sólo hay que probar el $i$ -vs- $(i+1)$ por inducción en $i$ pero lo que realmente sucede aquí es que $i\mapsto\log W_i(K)$ es "cóncavo" - comillas porque su dominio es discreto. La desigualdad ( $\ast$ ) es la versión local de esto, análoga a decir que la segunda derivada es no positiva; que ( $\dagger$ ) es creciente significa que las pendientes sobre $[d-i,d]$ aumentan con $i$ .) Pero $W_d(K) = \text{vol}(B) = W_{d-i}(B)$ por lo que con un poco de reordenamiento se obtiene la desigualdad deseada.

(Lamentablemente, no estoy familiarizado con la literatura en torno a Alexandrov-Fenchel, así que no puedo dar buenas referencias aquí).

También puede considerar cosas como el desigualdad isoperimétrica inversa que afirma que (1) todo cuerpo convexo centralmente simétrico $K$ tiene una imagen afín $K'$ tal que $$ \frac{V_d(K')^{1/d}}{V_{d-1}(K')^{1/(d-1)}} \ge \frac{V_d(B_\infty^d)^{1/d}}{V_{d-1}(B_\infty^d)^{1/(d-1)}} $$ donde $B_\infty^d$ es el cubo $[-1,1]^d$ (es decir, la bola unitaria del $\ell_\infty^d$ ), y que (2) todo cuerpo convexo $K$ tiene una imagen afín $K'$ tal que $$ \frac{V_d(K')^{1/d}}{V_{d-1}(K')^{1/(d-1)}} \ge \frac{V_d(\Delta)^{1/d}}{V_{d-1}(\Delta)^{1/(d-1)}} $$ Estas desigualdades se deben a Keith Ball (véase la conferencia 6 de su libro mencionado anteriormente para la demostración y las referencias), basándose en el teorema de John y en una versión normalizada de la desigualdad de Brascamp-Lieb. Para una demostración de Brascamp-Lieb en la forma necesaria (y mucho más, incluyendo los casos de igualdad en las desigualdades isoperimétricas inversas anteriores), véase F. Barthe, "On a reverse form of the Brascamp-Lieb inequality", arxiv:math/9705210 . (Una versión simplificada para el caso especial unidimensional necesario aparece en K. Ball, "Convex geometry and functional analysis", en el volumen 1 de Manual de geometría de los espacios de Banach Johnson y Lindenstrauss (eds.), North-Holland, 2001).

Answer 2

Creo que mi pregunta ya es muy larga así que añado aquí las otras desigualdades que encuentro.

• En la pregunta relación entre la anchura media y el diámetro se señala que para cualquier cuerpo convexo $K$ en $\mathbb{R}^d$ con diámetro positivo tenemos

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi d}} \simeq\frac{\textrm{Mean-width}(L)}{\textrm{Diameter}(L)} \leq \frac{\textrm{Mean-width}(K)}{\textrm{Diameter}(K)} \leq \frac{\textrm{Mean-width}(\textrm{Ball})}{\textrm{Diameter}(\textrm{Ball})} =1 $$

donde $L$ es cualquier segmento de línea. El límite inferior está claro si se elige $L$ para ser un segmento que realiza el diámetro de $K$ . El límite superior se deduce de la observación de que el diámetro es el mismo que la anchura máxima.

• Dejemos que $\Sigma$ sea un funcional de tamaño de grado $k$ para cualquier cuerpo convexo $K$ con radio exterior positivo tenemos

$$\frac{\Sigma(K)^{1/k}}{\textrm{Out-radius}(K)} \leq \frac{\Sigma(\textrm{Ball})^{1/k}}{\textrm{Out-radius}(\textrm{Ball})} =\Sigma(\textrm{Unit-Ball})^{1/k}$$

donde $\textrm{Ball}$ es una bola cualquiera y $\textrm{Unit-Ball}$ cualquier bola de radio $1$ . Esto se ve fácilmente si consideramos la bola más pequeña que contiene $K$ tiene el mismo radio de salida que $K$ y su $\Sigma$ -la medida es mayor porque $\Sigma$ es creciente bajo la inclusión de conjuntos.

• Por razones muy similares, si $\Sigma$ es un funcional de tamaño de grado $k$ tenemos para cualquier cuerpo convexo $K$ con radio interior positivo

$$\Sigma(\textrm{Unit-Ball})^{1/k} =\frac{\Sigma(\textrm{Ball})^{1/k}}{\textrm{In-radius}(\textrm{Ball})} \leq \frac{\Sigma(K)^{1/k}}{\textrm{In-radius}(K)}.$$

• El Desigualdad Blaschke-Santaló puede verse como una desigualdad de este tipo cuando restringimos el conjunto de cuerpos convexos a los que son centralmente simétricos. Para simplificar supondremos también que el centro de simetría es el origen. Así pues, consideramos $K$ un cuerpo convexo tal que $K=-K$ . Observamos $K^\circ:=\left\{ x\mid x\cdot y\leq 1 \text{ for all } y\in B \right\}$ su cuerpo polar. El Volumen de Mahler de $K$ es el producto de los volúmenes de $K$ y su cuerpo polar, es decir: $V(K) V(K^\circ)$ . Esto es invariante bajo isomorfismo lineal. La desigualdad de Blaschke-Santaló establece que las formas centralmente simétricas con máximo volumen de Mahler son las esferas y los elipsoides. Pero si observamos que $K\to V(K^\circ)^{-1}$ es un funcional de tamaño de grado $d$ (necesitamos la inversa para que sea creciente bajo inclusión de conjuntos). La desigualdad se puede escribir

$$\frac{V(\mathrm{K})^{1/d}}{\left(V(\mathrm{K}^\circ)^{-1}\right)^{1/d}} \leq \frac{V(\mathrm{Ball})^{1/d}}{\left(V(\mathrm{Ball}^\circ)^{-1}\right)^{1/d}}$$ para todo cuerpo convexo de simetría central $K$ con volumen positivo.

• Por otro lado, y con las mismas suposiciones que en el último párrafo, las formas con el mínimo volumen de Mahler conocido son los hipercubos, los politopos en cruz y, más generalmente, los politopos de Hanner que incluyen estos dos tipos de formas, así como sus transformaciones afines. La página web Conjetura de Mahler afirma que el volumen de Mahler de estas formas es el más pequeño de cualquier cuerpo convexo simétrico de n dimensiones; sigue sin resolverse (toda la última frase es una cita directa de wikipedia). De nuevo, esta conjetura se puede escribir con el punto de vista de la pregunta:

$$\frac{V(\mathrm{Hypercube})^{1/d}}{\left(V(\mathrm{Hypercube}^\circ)^{-1}\right)^{1/d}}\leq \frac{V(\mathrm{K})^{1/d}}{\left(V(\mathrm{K}^\circ)^{-1}\right)^{1/d}}.$$ para todo cuerpo convexo de simetría central $K$ con volumen positivo.

Answer 3

Otra desigualdad muy similar a la desigualdad isoperimétrica es la sistólica la desigualdad en sus diversas formas. Esto se puede replantear como una desigualdad para cuerpos convexos en ciertos casos, como un cuerpo centralmente simétrico en $R^3$ .

La primera desigualdad publicada de este tipo es la desigualdad de Pu para un plano proyectivo real con una métrica riemanniana artbitraria, que afirma que $$L^2\leq\frac{\pi}{2}A$$ donde $A$ es la superficie total y $L$ es la menor longitud de un bucle no contratable en el plano proyectivo real.

Si la métrica tiene curvatura gaussiana positiva se puede realizar como el cociente antipodal de una superficie convexa en $R^3$ y luego $L$ se puede caracterizar en términos de la menor distancia de un punto a su antípoda. Existen varias generalizaciones y un monografía reciente dedicado a este tema.