La suma armónica de enteros coprimos no es un entero.

Question

Como se ha dicho, he intentado probar lo siguiente:

El teorema parece ser muy incompleta que sea su enunciado, ya que se puede obtener no entero sumas de la forma

$$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{9}$$

o

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{18}} + \frac{1}{{20}}$$

por lo tanto, el detalle que se necesite. Tal vez esto debería ser cerrada, como que ya no es relevante hasta que yo venga con una redacción mejor, y creo que la más de las condiciones iniciales. La gran pregunta sería

Dado el conjunto a $S$ $n$ enteros

$$S=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$$ what are sufficient conditions on $x_1,x_2,\dots,x_n$ so that $$\eta = \sum_{k \leq n }x_k^{-1}$$ no es un número entero?

Aunque no sé si este es un importante/relevante cuestión de pedir.

TEOREMA Si $x_1,\dots,x_n $ son parejas coprime, $x_i\neq 1$, vamos

$$\mu =\sum_{k=1}^n \frac 1 x_k $$

A continuación, $\mu$ no puede ser un número entero.

PRUEBA Por inducción sobre $n$. Asume el teorema es cierto para $2, \dots, n-1$. Voy a analizar el caso de $k=n$.

$(1)$ Es cierto para $n=2$. Si $$(x_1,x_2)=1 \Rightarrow (x_1 x_2,x_1+x_2)=1$$

La prueba es simple. Tenemos que $(x_1,x_2)=1$. Deje $d \mid x_1+x_2 , d \mid x_1x_2$. Entonces

$$d\mid x_1(x_1+x_2)-x_1x_2 \Rightarrow d\mid x_1^2$$

$$d\mid x_2(x_1+x_2)-x_1x_2 \Rightarrow d\mid x_2^2$$

Por lo $$d \mid (x_1^2,x_2^2)=(x_1,x_2)=1 \Rightarrow d=1$$

Esto significa $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}=\phi$$

no es un entero.

$(2)$ Vamos

$$\mu = \frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2}+\cdots+ \frac{1}{x_{n-1}}+ \frac{1}{x_n}$$

Entonces

$$x_n \mu-1 = x_n\left(\frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2}+\cdots+ \frac{1}{x_{n-1}}\right) =x_n \omega$$

Por hipótesis, $(x_1,\dots,x_{n-1})=1$ $\omega$ no es un número entero. Por lo tanto, si $x_n \mu-1$ fueron un entero, debe ser el caso:

$$ x_n\left(\frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2}+\cdots+ \frac{1}{x_{n-1}}\right) =k \text{ ; } k \text{ an integer }$$

$$ x_n \frac{\tau}{x_1 x_2 \cdots x_{n-1}} =k \text{ ; } k \text{ an integer }$$

$\tau$ es el numerador se obtiene al tomar un denominador común.

Pero desde $\omega$ no es un entero, entonces debe de ser el caso

$$x_1 x_2 \cdots x_{n-1} \mid x_n$$

lo cual es imposible. A continuación, $x_n \mu -1$ no es un número entero. Pero desde $x_n$$1$, esto significa $\mu$ no es un entero, esto es,

$$\mu =\sum_{k=1}^n \frac 1 x_k $$

no es un entero. $\blacktriangle$

NOTA la hipótesis de que La $x_k \neq 1$ es necesario para evitar sumas como

$$\frac{1}{1}+\overbrace{\frac{1}{n}+\cdots +\frac{1}{n}}^{n }=1+n\frac{1}{n}=2$$

sin embargo, si $(x_1,\dots,x_n)=1$, la suma

$$\nu =\sum_{k=1}^n \frac 1 x_k +1 $$

claramente no es un entero.

Answer 1

Como he señalado en los comentarios, incluso si $x_n\frac{\tau}{x_1\cdots x_{n-1}}$ es un entero y $\frac{\tau}{x_1\cdots x_{n-1}}$ no, esto no es suficiente para establecer que $x_1\cdots x_{n-1}\mid x_n$. Sin embargo no necesitamos esta divisibilidad para obtener una contradicción.

Aquí es cómo salvar tu argumento. Otra vez tenemos la hipótesis de inducción. A continuación:

• Si $x_n\mu $ no es un número entero, entonces tampoco es $\mu$ y hemos terminado.
• Si $x_n\mu$ es un número entero, luego escribe $\tau=e_{n-2}(x_1,\cdots,x_{n-1})$ tenemos $$x_n\frac{\tau}{x_1\cdots x_{n-1}}\in \Bbb Z,~~\frac{\tau}{x_1\cdots x_{n-1}}\not\in\Bbb Z ~\implies~ (x_n,x_1\cdots x_{n-1})>1$$ (justify this!) which contradicts pairwise coprimality (justify!), hence $x_n\mu$ no es un entero.

Answer 2

Edit: El comentario acerca de $(x_1,\dots,x_k)$ se refiere a una iteración anterior de la pregunta.

La notación $(x_1,\dots, x_k)=1$ no significa que los números son pares relativamente primos. Es de suponer que usted desea pares relativamente primos, porque de $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$ y muchos otros.

Si el $x_i$ son parejas relativamente primos, y mayor que la de $1$, no es fácil no inducción de la prueba. Supongamos que al contrario que la suma de los recíprocos es un número entero. Deje $M$ ser el producto de todos los $x_i$ a excepción de uno, decir $x_n$. Multiplicar la suma de los recíprocos por $M$. Obtenemos un número entero. Pero eso es imposible, ya que $x_n$ no divide $M$, y todos los otros términos de $\frac{M}{x_i}$ son enteros.

Answer 3

Supongamos que $(a_i,b_i)=1$$1\le i\le n$, $(b_i,b_j)=1$ $1\le i< j\le$ n. Entonces el denominador, en términos mínimos, de $$ \sum_{i=1}^n\frac{a_i}{b_i}\etiqueta{1} $$ es $$ \prod_{i=1}^nb_i\etiqueta{2} $$ De esta manera se sigue por la inducción de la caja $n=2$, y eso es cierto porque $$ (a_1b_2+a_2b_1,b_1b_2)=1\etiqueta{3} $$ Supongamos que no, y hay algunos prime $p$ que divide tanto a a$b_1b_2$$a_1b_2+a_2b_1$. Si $p\,|\,b_1$,$p\,|\,a_1b_2$, pero desde $(a_1,b_1)=1$ y $(b_1,b_2)=1$, $p$ se puede dividir ni $a_1$ ni $b_2$. Si $p\,|\,b_2$,$p\,|\,a_2b_1$, pero desde $(a_2,b_2)=1$ y $(b_1,b_2)=1$, $p$ se puede dividir ni $a_2$ ni $b_1$. Por lo tanto, $(3)$ debe de ser verdad.

Por lo tanto, desde armónico sumas parejas con las coprime denominadores entran en este caso, no armónico suma parejas con las coprime denominadores (otros que el singleton suma $1$) puede ser un número entero.

Answer 4

coprimo de par $\rm b_i\:$, $\rm\displaystyle \: \sum_i \dfrac{a_i}{b_i} = n\in\mathbb Z\:\Rightarrow\: mod\ b_j\!:\ a_j = b_j\left[n- \sum_{i\,\ne\, j} \dfrac{a_i}{b_i}\right]\!\equiv 0\:\Rightarrow\,\dfrac{a_j}{b_j}\in \mathbb Z,\, \forall\, j$