Encontrar traza de una matriz dada $A$ con entradas de $\mathbb{Z}_{227}$

Question

Sea $A$ $227\times 227$ matriz con las entradas de $\mathbb{Z}_{227}$ tal que todos sus valores eigen son distintas. ¿Cuál sería su rastro? Creo que es cero añadiendo todos los 227 elementos pero no estoy seguro.

Editado: Aquí he asumido que los valores propios están en un campo base.

Answer 1

La traza de una matriz se define como la suma de los elementos de su diagonal. La traza es igual a la suma de los valores propios, es decir, las raíces del polinomio característico, cuando el polinomio característico se divide sobre el campo subyacente $F$. En consecuencia, no podemos decir nada en el presente caso, sin más información.

Por ejemplo, si todos los autovalores son en $\mathbb{Z}_{227}$ y son distintos, entonces sí, la traza es igual a cero. Pero en general, los valores propios no serán todos ellos dentro de $\mathbb{Z}_{227}$.

Answer 2

Puesto que su campo tiene exactamente $227$ elementos y todos $227$ autovalores son distintos, el rastro de $A$ es exactamente la suma de todos los elementos de $227$ $\mathbb{Z}_{227}$. Es bien sabido que la suma de los primeros enteros positivos de $n$ es $n(n+1)/2$, tan aquí $$ 0 + 1 + 2 + \cdots + 226 = \frac {226\times227} 2. $$ Ya que estamos haciendo aritmética modulo $227$, esta suma es cero (siendo un múltiplo de $227$).

Answer 3

Probar la matriz con 113 'elementos de bloque' % forma $\begin{bmatrix} 0 & n \\ n & 0 \end{bmatrix}$, con el funcionamiento de $n$ $1$ $113$ y el último elemento diagonal $114$. Entonces el rastro es 114 y los valores propios son distintos.

Los valores propios son $\{\pm n i\}_{n=1}^{113} \cup \{114\}$.

Answer 4

Sí: todos valores propios distintos significa que cada valor del $\mathbb{Z}_{227}$ aparece exactamente una vez, por lo que sólo necesitará calcular $\Sigma_{i=0}^{226} i=226(227)/2=0 \pmod{ 227}$.

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Addendum: en un momento dado el usuario hizo un comentario acerca de cómo agregar la hipótesis de que los valores propios son en el campo, pero ahora que el comentario parece haber desaparecido. Sin el cambio, esta línea de razonamiento no es útil.