Representaciones de grupos como vectores e isomorfismo entre pesos y generadores de matrices

Question

Esto puede ser algo básico, pero no me queda claro. Así que estoy acostumbrado a trabajar con representaciones de grupos como matrices. Estas matrices representan la estructura del álgebra de Lie satisfaciendo las relaciones de conmutación:

$$ [T_i,T_j]=f_{ijk}T_k $$

pero leí textos de física de partículas en los que se hablaba de representaciones de los vectores sobre los que actúan las matrices, y no de las propias matrices. Por ejemplo, en el grupo SU(3), después de encontrar todos los pesos de una representación decimos que "hemos encontrado la representación", aunque no hayamos encontrado las matrices generadoras. Mi pregunta es, en qué sentido los vectores son representación del grupo, los vectores parecen elementos pasivos sobre los que actúan las matrices del grupo, y no contienen la estructura del grupo. Espero que mi pregunta sea clara.

EDIT: Como dice el título, ¿son estas representaciones vectoriales, junto con los pesos, isomorfas a los generadores del grupo?

Answer 1

Creo que tu confusión (como la mía) es simplemente por el uso técnico del inglés. Como bien dices "los vectores parecen elementos pasivos sobre los que actúan las matrices del grupo, y no contienen la estructura del grupo" .

En mi opinión, una representación de un grupo es un triple $(\mathfrak{G},\,V,\,\rho:\mathfrak{G}\to GL(V))$ El grupo $\mathfrak{G}$ que se representa, el espacio vectorial objetivo $V$ siendo actuado en una acción de grupo del grupo matriz de endomorfismos $GL(V)$ y el homomorfismo $\rho:\mathfrak{G}\to GL(V)$ entre ellos.

Mientras sea claro por el contexto En este caso, es correcto pensar en el espacio vectorial como la representación, y este parece ser el uso estándar de la palabra por parte de los físicos. De hecho, es un punto de vista particularmente físico: en el punto de vista que he citado en primer lugar, estás observando el "sistema" desde lejos; en el punto de vista del físico, estás, como cualquier buen experimentalista u observador cuidadoso, acercándote tanto como puedas a la acción ( es decir sentado en el extremo de la flecha $\rho$ ) y mirando lo que los actores que salen de ella (las matrices en $GL(V)$ ) a través de sus acciones en sus juguetes (los vectores en $V$ ). Mi imagen mental, en este contexto, es literalmente la de alguien con bata blanca, sentado justo al final de la tubería $\rho$ (que para mí, de alguna manera, siempre es de color bronce) y anotando cuidadosamente sus observaciones sobre lo que ocurre al final de la tubería $\rho$ ¡cuando las criaturas estudiadas salen!

En física, los vectores en $V$ suelen ser estados cuánticos en un espacio de estados cuánticos $V$ (estas son las más ganadas para mí), y a veces buscamos transformaciones lineales unitarias sobre ellas que sean "compatibles con" ( es decir imágenes homomórficas de) el grupo $\mathfrak{G}$ de "sucesos físicos" (estoy pensando en $\mathfrak{G}$ como el grupo de Poincaré, o $SO(1,\,3)$ o la doble tapa de este último $SL(2,\,\mathbb{C})$ ). El espacio vectorial contiene las cosas físicas (los estados cuánticos), por lo que es natural pensar en ellos como la "representación".

Answer 2

Los vectores (kets) sobre los que actúan las matrices deben denominarse espacio portador de la representación . Como has dicho, las matrices son la representación de los generadores abstractos. Es una pereza referirse al espacio vectorial como la representación. Un vector de peso máximo etiqueta la representación irreducible y te dice la dimensión del espacio portador.

Es fácil etiquetar un conjunto ortogonal de vectores base para el espacio de la portadora utilizando el patrón de Gelfand. Se trata de un triángulo invertido de números con los números del vector de peso a lo largo de la base superior y utilizando la regla de la entretela para rellenar el resto de los enteros del triángulo. Las matrices de la representación mi también se calculan a partir del vector de peso máximo, aunque es más difícil.

Excepto que, al menos para GL(N), los propios generadores abstractos pueden servir como vectores del espacio portador para uno de los irreps. Esto es cuando el grupo actúa sobre los generadores por conjugación. Ejemplos son, los generadores de O(3) $\vec{J}$ transformándose como un vector 3 por matrices 3x3, o los generadores SU(3) transformándose como un octeto por matrices 8x8.

Answer 3

No, esto es no una cuestión de terminología ambigua. Sospecho que buscar un "isomorfismo" podría ser demasiado escondido... ¡también podrías buscar un "functor"! La respuesta básica es que, sí, la posesión de las matrices generadoras T de dimensión dxd es básicamente equivalente a la caracterización de los pesos de los estados v en el d -espacio vectorial sobre el que actúan dichas matrices, salvo que este último normalmente te lleva más directamente a lo que quieres saber en QM en el último caso, a fuerza de las etiquetas pertinentes/ raíces / pesos .

Piensa en SU(2) para simplificar, pero se puede optar por generalizar a SU(3) Una vez que el juego es evidente. Para girar un d -dim v por un ángulo se opera en él mediante v exp( iJ ) v en la física clásica. Por un cambio de base de los 3 generadores J a sus versiones de escalera de subida y bajada $J_+, J_-$ y $J_0$ y las maravillosas ecuaciones de valores propios que satisfacen sus conmutadores del álgebra de Lie, se pueden organizar estas rotaciones de forma mucho más útil en QM, y también computacionalmente--por supuesto, así es como estas matrices de mayor dimensión en el SU(2) ¡WP-article fueron encontrados, en primer lugar!

Es decir, una vez que se tienen los vectores propios de J.J con valores propios j(j+1) hasta la normalización, se ha caracterizado la dimensionalidad del vector propio v por 2j+1 y su componente por el valor propio m de J0 en él, mientras que usted sabe cómo la subida y la bajada J s enviarán entradas a su ranura vecina. Por lo tanto, escribir los estados en la convención |j,m> equivale a plantear que están listos para las rotaciones mediante simples desplazamientos de su m y las multiplicaciones por números. Para ángulos pequeños Esto equivale a la transición a v + iJ v para J cualquier combinación lineal de estos 3 operadores de escalera.

A la inversa, la estructura de estos operadores especifica el álgebra de Lie de las matrices con las que se empezó, de forma única (Cartan). Aquí, $J^2 |j,m\rangle = j(j + 1) |j,m\rangle$ , $ J_0 |j,m\rangle = m |j,m\rangle $ y $J_\pm |j,m\rangle = \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)} |j,m\pm 1 \rangle$ si actuamos sobre ellos con sujetadores arbitrarios a la izquierda, $\langle j\,m'|$ dan los elementos de las matrices en cuestión, garantizando que satisfacen la SU(2) el álgebra.

Pero este lenguaje es más sencillo que la multiplicación de matrices tontas para la transición entre estados mediante operadores QM, el teorema de Wigner-Eckart, etc. La transición es sólo un cambio de lenguaje lineal-algebraico.

Para SU(3) hay más valores propios de este tipo: no sólo el análogo del j (isospín), sino también la hipercarga, valor propio de Y=B+S , relacionado con el número cuántico de extrañeza. Y, efectivamente, más operadores de escalera, V+ o U+ (por ejemplo U -Intercambios de giro d y s quarks) te mueven entre los componentes de los vectores de forma adecuada--están etiquetados en patrones planos con simetría triangular, en lugar de líneas para rotaciones simples. De nuevo, cada punto en estos diagramas de pesos para el octeto, decuplet, etc... corresponde a una entrada del d -dim v y sabes exactamente, prácticamente por inspección, cómo van a responder a un exp( iT ), por la forma inteligente en que fueron etiquetados; así que, realmente, ¡sí!, un equivalente a la multiplicación de matrices. En el momento en que se ha dibujado el diagrama de pesos triangulares hacia abajo para el decuplo de bariones, se ha especificado implícitamente el 10x10 matrices generadoras de SU(3) .

La preponderancia en la física de la 2ª lengua sobre el simple monstruo de la escritura dxd matrices te dice algo sobre su compacidad y utilidad.