Mostrando que $\sum_{i=1}^n \frac{1}{|x-p_i|} \leq 8n \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n-1} \right)$

Question

Me estoy tomando un verano curso de análisis y la preparación para nuestro examen final a finales de esta semana. Nuestro profesor nos dio el siguiente problema en nuestro simulacros de examen, y me parece que no puede conseguir en cualquier lugar. ¿Alguien tiene una idea de cómo se podría proceder? He tratado de pensar en términos de una serie geométrica, pero que me llevó a ninguna parte. También he estudiado el comportamiento de varias de las primeras sumas parciales, pero de nuevo sin éxito.

Deje $0 \leq p_i \leq 1$$i = 1, 2, \dots, n$. Mostrar que

$$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{|x-p_i|} \leq 8n \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n-1} \right)$$

para algunos $x$ satisfacción $0 \leq x \leq 1$.

Answer 1

Voy a hacer un descuidado versión, donde yo no preste mucha atención a las constantes y no responder a la pregunta completamente. Una más cuidadosa versión podría conducir a una respuesta completa a pesar de que.

Deje $\delta=1/(4n)$. Entonces $$ A=\{ x\in [0,1]: |x-p_j|\ge\delta \:\textrm{ para todo }j=1,\ldots, n \} $$ tiene una medida de $|A|\ge 1/2$. También, observe que $$ \int_{|x-p|\ge\delta} \frac{dx}{|x-p|} < -2\ln\delta . $$ Por lo tanto $\int_A \sum |x-p_j|^{-1}\, dx < 2n\ln 4n$. De ello se desprende que hay un $x\in A$ que hace que la suma de $<4n\ln 4n = 4n\ln n +O(n)$, que es también la talla asintótica de su obligación.

De hecho, podemos captador de un mejor asintótica obligado si tomamos $\delta=\epsilon/n$ $\epsilon>0$ pequeños. Esto conduce a un límite de la forma $(2+\epsilon')n\ln n + O(n)$.