Ayuda integral simple

Question

¿Cómo puedo integrar $$\int_{0}^1 x \bigg\lceil \frac{1}{x} \bigg\rceil \left\{ \frac{1}{x} \right\}\, dx$$

Donde $\lceil x \rceil $ es la función techo, y $\left\{x\right\}$ es la función de la parte fraccionaria

Answer 1

A problema relacionado .

Una pista: intente utilizar la definición de la función de la parte fraccionaria que se define por

$$ \left\{ x\right\} = x - \lfloor x\rfloor , $$

y la siguiente relación entre las funciones de suelo y techo

$$ \lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = \begin{cases} 0&\mbox{ if } x\in \mathbb{Z}\\ 1&\mbox{ if } x\not\in \mathbb{Z} \end{cases}. $$

Añadido:

$$ \int_{0}^1 x \bigg\lceil \frac{1}{x} \bigg\rceil \left\{ \frac{1}{x} \right\}\, dx=\int_{0}^1 x (1+\lfloor 1/x \rfloor)(1/x-\lfloor1/x\rfloor)\, dx. $$

Ahora, haz el cambio de variables $y=1/x$ a la última integral

$$\int_{0}^1 x (1+\lfloor 1/x \rfloor)(1/x-\lfloor1/x\rfloor)\, dx=\int_{1}^{\infty} \frac{1}{y} (1+\lfloor y \rfloor)(y-\lfloor y\rfloor)\, \frac{dy}{y^2}$$

$$\implies I = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1} \frac{1}{y^3} (1+n)(y-n)\, dy= \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{2} $$

Nota: Para evaluar la suma, utilice la técnica del telescopio. Primero se escribe el sumando como

$$ \frac{1}{n(n+1)}= \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}. $$

Ahora, encuentra la suma parcial de la serie

$$ s_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right)=1-\frac{1}{n+1}. $$

Entonces la serie suma

$$ s = \lim_{n \to \infty} s_n = 1. $$

Answer 2

La idea principal es dividir $(0,1)$ en intervalos "buenos". Sólo daré los principales pasos del cálculo $$ \int\limits_{(0,1)} x \bigg\lceil \frac{1}{x} \bigg\rceil \left\{ \frac{1}{x} \right\} dx =\sum\limits_{n=1}^\infty\int\limits_{n\leq \frac{1}{x}<n+1} x \bigg\lceil \frac{1}{x} \bigg\rceil \left\{ \frac{1}{x} \right\} dx =\sum\limits_{n=1}^\infty\int\limits_{\frac{1}{n+1}< x\leq \frac{1}{n}} x (n+1) \left(\frac{1}{x}-n\right) dx =\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2n^2+2n}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{2} $$

Answer 3

Dividir la integral en segmentos $S_m=[1/m,1/(m+1)]$ con $[0,1]= \cup_{m=1}^\infty S_m$ . En el segmento $m$ tenemos $\lceil 1/x \rceil=m+1$ y $\{1/x\} = 1/x- \lfloor 1/x\rfloor = 1/x - m$ (aparte de los valores de $x$ en la frontera que no contribuyen a la integral).

Esto da como resultado $$\begin{align}\int_0^1 x \bigg\lceil \frac{1}{x} \bigg\rceil \left\{ \frac{1}{x} \right\}\, dx &= \sum_{m=1}^\infty \int_{S_m}x \bigg\lceil \frac{1}{x} \bigg\rceil \left\{ \frac{1}{x} \right\}\, dx \\ &= \sum_{m=1}^\infty \int_{1/(m+1)}^{1/m} x (m+1)\left(\frac1x -m \right)\, dx\\ &= \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{2m(1+m)}\\ &=\frac{1}{2}. \end{align}$$