Demostrar $f(x)=\int\frac{e^x}{x}\mathrm dx$ no es una función primaria

Question

¿Cómo puedo probar que la integral exponencial $$f(x)=\int \frac{e^x}{x}\mathrm dx$$ no es una función primaria?

También, ¿cuáles son los métodos y trucos para demostrar que la integral o la solución a una ecuación no es una función primaria?

Answer 1

Todo lo que necesitamos para esto es un teorema de Liouville (1835): Supongamos que $f$ $g$ son funciones racionales con $f\neq 0$ $g$ no constante. Entonces $$\int f(x) e^{g(x)} dx $$ is an elementary function if and only if there exists a rational function $r$ such that $ f=r'+g r.$

Aquí tenemos a $g(x)=x$ $f(x) = 1/x.$ Suponga que existe una función racional $r$ tal que $ 1/x = r' + r \text{ } $ (1). Indicar la multiplicidad de la pole en $0$ $m$ (donde$m\geq 1$, de modo que ambos lados de (1) de acuerdo al $x\to 0$), por lo que el $ \displaystyle r(x) = \frac{p(x)}{x^m Q(x)} $ donde $p, Q$ son polinomios sin factores comunes y $Q$ no es divisible por $x.$

La sustitución de esta forma, en (1) y multiplicando ambos lados por $x^m$ rendimientos $$ x^{m-1} = \frac{p(x)+ p'(x)}{Q(x)} - \frac{Q'(x) p(x) }{Q^2(x)} - \frac{m}{x Q(x)} .$$ Taking limits of both sides as $x\to 0$ illustrates the lunacy in our assumption that such a rational function exists, and hence $\displaystyle \int \frac{e^x}{x} dx$ no es elemental.