si $F(x)=\ln{x}\ln{(1-x)}$ probar $F'(x)>0$

Question

un alguien por favor me ayude con la siguiente prueba:

Deje $$F(x)=\ln{x}\ln{(1-x)},0<x\le\dfrac{1}{2}$$

mostrar que $$F'(x)>0$$

porque $$F'(x)=\dfrac{(1-x)\ln{(1-x)}-x\ln{x}}{x(1-x)}$$ Esto es suficiente para mostrar que $$G(x)=(1-x)\ln{(1-x)}-x\ln{x}>0,0<x\le\dfrac{1}{2}$$

Answer 1

$$F'(x)=\frac{\log(1-x)}{x}-\frac{\log(x)}{1-x}$$ Desde $e^u\ge1+u$ para todos los verdaderos $u$, $$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\log(1-x)}{x} &=\frac{-\frac{x}{1-x}-\log(1-x)}{x^2}\\ &=\frac{1-\frac1{1-x}+\log\left(\frac1{1-x}\right)}{x^2}\\ &=\frac{1+u-e^{u}}{x^2}\\[6pt] &\le0 \end{align}$$ donde $u=\log\left(\frac1{1-x}\right)$.

Por lo tanto, $F'(x)$ es la disminución (disminución de la función de menos el aumento de la función) y $F'\left(\frac12\right)=0$.

Answer 2

Si tenemos en cuenta $\displaystyle G(x) = (1-x)\log (1-x) - x\log x$, cuando se $x \in \left(0,\dfrac{1}{2}\right)$ y calcular la derivada:

$$G'(x) = -2 - \log x(1-x) \textrm{ remains positive in the range } x\in \left(0,\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{e^2 - 4}}{2e}\right)$$

Ya, $G(0) = 0$, llegamos a la conclusión de $G(x) > 0$ en el rango mencionado anteriormente.

Siguiente, $$(1-x)\log (1-x) - x\log x = \int_x^{1-x} (1 + \ln t)\,dt$$

Ya, $H(t) = 1+\ln t$ es una función cóncava, podemos aplicar Hermite-Hadamard la Desigualdad y deducir:

$$(1-x)\log (1-x) - x\log x \ge (1-2x)\left(1+\frac{1}{2}\log (x(1-x))\right)$$

El R. H. S. sigue siendo positivo al $\displaystyle x(1-x) > e^{-2}$, es decir, $\displaystyle x \in \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{e^2 - 4}}{2e},\frac{1}{2}\right)$

Combinado, esto nos da la $G(x) > 0$$x \in \left(0,\dfrac{1}{2}\right)$.

Answer 3

Escribir sus derivados como:

$$F'(x)=\frac{\log\left(\frac{(1-x)^{1-x}}{x^x}\right)}{x(1-x)}$$

Entonces como $x<\frac{1}{2}$ $1-x>x$ y, por tanto, $\frac{(1-x)^{1-x}}{x^x}>1$ por lo que el numerador es positivo.

Answer 4

Tenga en cuenta que $G(x)=\ln\left((1-x)^{1-x}\right)-\ln(x^x)=\ln\left(\frac{(1-x)^{1-x}}{x^x}\right)$ .

Por lo $G(x)\geq0 \iff \ln\left(\frac{(1-x)^{1-x}}{x^x}\right)\geq0 \iff \frac{(1-x)^{1-x}}{x^x}\geq1$

Ahora, desde la $0\leq x\leq\frac{1}{2}$, tenemos: $$1-x\geq x\Rightarrow (1-x)^{1-x}\geq x^x\Rightarrow\frac{(1-x)^{1-x}}{x^x}\geq1$$ Y hemos terminado. Tenga en cuenta que no llegamos a $F'(x)>0$$F'(x)\geq0$, desde $$F'(\frac{1}{2})=\frac{\frac{1}{2}\ln(\frac{1}{2})-\frac{1}{2}\ln(\frac{1}{2})}{\frac{1}{4}}=0$$