Si tenemos en cuenta $\displaystyle G(x) = (1-x)\log (1-x) - x\log x$, cuando se $x \in \left(0,\dfrac{1}{2}\right)$ y calcular la derivada:
$$G'(x) = -2 - \log x(1-x) \textrm{ remains positive in the range } x\in \left(0,\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{e^2 - 4}}{2e}\right)$$
Ya, $G(0) = 0$, llegamos a la conclusión de $G(x) > 0$ en el rango mencionado anteriormente.
Siguiente, $$(1-x)\log (1-x) - x\log x = \int_x^{1-x} (1 + \ln t)\,dt$$
Ya, $H(t) = 1+\ln t$ es una función cóncava, podemos aplicar Hermite-Hadamard la Desigualdad y deducir:
$$(1-x)\log (1-x) - x\log x \ge (1-2x)\left(1+\frac{1}{2}\log (x(1-x))\right)$$
El R. H. S. sigue siendo positivo al $\displaystyle x(1-x) > e^{-2}$, es decir, $\displaystyle x \in \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{e^2 - 4}}{2e},\frac{1}{2}\right)$
Combinado, esto nos da la $G(x) > 0$$x \in \left(0,\dfrac{1}{2}\right)$.