Sí, son los mismos. Uno podría argumentar de la siguiente manera:
Si $O$ es abierto en la topología producto que mencionas, y $(x,y) \in O$, entonces existe un conjunto abierto $U \times V$$(x,y) \in U \times V \subset O$. Porque abrir los intervalos de formar una base para $\mathbb{R}$ en la topología usual, y los únicos para la topología discreta, hay algún intervalo abierto $(a,b)$ tal que $(x,y) \in \{x\} \times (a,b) \subset U \times V \subset O$. Pero $\{x\} \times (a,b) = ((x,a), (x,b))$, donde el último intervalo se toma en el orden lexicographic, por lo que este es un conjunto abierto en la topología. Esto muestra que (un punto arbitrario) $(x,y)$ es un punto interior de a $O$ en el lexicográfica fin de topología, por lo $O$ también está abierto en la topología.
A la inversa: supongamos $O$ está abierto en el orden lexicographic topología, y deje $(x,y) \in O$. Hay algún intervalo abierto $((a,b),(c,d))$ que contiene $(x,y)$, y está contenida en $O$. Así que sabemos que $a \le x$. Si $a < x$,$e = y-1$, de lo contrario, establezca $e = b$. También se $x \le c$. Si $x < c$,$f = y+1$, de lo contrario $f = d$. En todos los casos, $y \in (e,f)$$\{x\} \times (e,f) \subset ((a,b), (c,d)) \subset O$, lo que muestra que $(x,y)$ es un punto interior de a $O$ en el producto de la topología.
La observación clave es, como ya vimos, que cualquier lexicográfica del intervalo de tiempo puede ser reducido a la esencia de un singleton veces en un intervalo abierto (es decir, estos forman una base local en todos los puntos). Este hace uso de ese $\mathbb{R}$ es ilimitado en dos lados, el análogo resultado no se cumple para el lexicográficamente ordenó la plaza de $[0,1] \times [0,1]$. El último espacio no es metrisable (que contiene una copia de la línea de Sorgenfrey, por ejemplo), mientras que el plano (en el caso que nos ocupa) es metrisable, como un producto de dos metrisable espacios, como acabamos de ver. Así que la restricción de la orden de $[0,1] \times [0,1]$ da una nueva orden de topología que es no la topología de subespacio de w.r.t. el orden original de la topología.
