Qué $\frac{x-2}{3x-6}$ realmente igual $\frac{1}{3}$?

Question

En mi lección de matemáticas el día de hoy nos simplificación de fracciones de factorizar. Una de las preguntas era algo como esto: $\frac{x-2}{3x-6}$, lo que he simplificado como $\frac{x-2}{3x-6}=\frac{x-2}{3(x-2)}=\frac{1}{3}$. Eso me pregunto sin embargo, si estas expresiones son realmente iguales, específicamente en el caso de $x=2$, donde la primera expresión es indefinido, pero el último toma el valor de $\frac{1}{3}$.

Desde las expresiones sólo se diferencian en un solo punto son para todos los intentos y propósitos de la igualdad, o son teóricamente diferentes? Si yo quería ser totalmente correcta tendría que escribir $\frac{x-2}{3x-6}=\frac{1}{3}$ donde $x \neq 2$?

Mi profesora de matemáticas explicó que en $x=2$ la expresión se evalúa a $\frac{0}{3 \times0}$ y los ceros se cancelan. Yo no estaba del todo satisfecho con esta explicación, porque que yo sepa) $\frac{0}{0}$ es indefinido.

Gracias de antemano!

Answer 1

Creo que puede ayudar a cuadro como este:

Por un lado, $\frac{x-2}{3x-6}$ es una función que está definida en $\mathbb{R}$, excepto en $x=2$, y en cada punto se define es igual a $\frac{1}{3}$.

Por otro lado, $\frac{1}{3}$ puede ser visto como una función que debe tener en CUALQUIER entrada y dará $\frac{1}{3}$. En particular, la restricción del dominio en $x=2$ previene $\frac{x-2}{3x-6}$ a ser la misma cosa como $\frac{1}{3}$.

Por lo tanto, no sería correcto para simplificar $\frac{x-2}{3x-6}$ $\frac{1}{3}$menos que estamos trabajando en un dominio donde la $x \neq 2$.

Answer 2

Sí... y no.

Notación matemática es ambiguo; no es práctico completamente explicar todos los detalles de lo que significa. Hemos tenido siglos de sabiduría en el desarrollo de las notaciones donde las ambigüedades generalmente no importa, pero a veces en el detalle fino.

Hay un par de cosas diferentes que uno puede decir por $\frac{x-2}{3x-6}$; el más significativo desacuerdo entre las alternativas es el estado de "evaluación en $x=2$".

La más básica de la interpretación es que el $\frac{x-2}{3x-6}$ es una receta para la realización de una secuencia de operaciones aritméticas en una entrada determinada; en esta interpretación, la evaluación en $x=2$ es, de hecho, indefinido.

Muchas otras interpretaciones que puede ser descrito como "tomar la extensión continua": en términos generales, a tomar la gráfica de la función y rellene todos los agujeros; aquí habría que agregar en $(2,1/3)$. También, si usted está usando el extendido de los números reales, habría que agregar en $(+\infty, 1/3)$$(-\infty, 1/3)$, por lo que la evaluación en $\pm \infty$ está definido. (del mismo modo, si usted está usando el proyectivas de los números reales)

Sus maestros descripción es una tontería cuando se toman literalmente; sin embargo, la probable intención es que está utilizando "$0$" como un stand-in para algún tipo de 'testigo' de la desaparición; por ejemplo, nos factor $(x-2)$ desde el numerador y el denominador para obtener

$$ \frac{x-2}{3x-6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{x-2}{x-2} = \frac{1}{3} \cdot 1$$

Si utilizamos uno de estos "extensión continua de interpretaciones, los testigos hacer "cancelar" para salir de detrás de $1/3$.