¿Por qué el problema de existencia de Yang-Mills y la brecha de masa es tan fundamental?

Question

Ref: Yang–Mills existencia y brecha de masa

¿Alguien puede explicar por qué el problema de la existencia de Yang–Mills y la brecha de masa es tan importante / fundamental para las matemáticas contemporáneas (y, presumiblemente, la física teórica / matemática)?

Si es posible, por favor incluya lo siguiente en su respuesta:

(1) Por qué el problema es tan fundamental / importante - tanto para las matemáticas como para la física teórica / matemática; (2) Cómo la solución al problema impactaría la investigación en los dos campos mencionados anteriormente; (3) (Si aplica) Qué avances se han logrado hasta ahora en resolverlo; (referencias a artículos, libros, otros recursos serían útiles).

Soy un estudiante universitario de nivel avanzado en física teórica, por lo que estoy buscando una respuesta a ese nivel.

Answer 1

Querida Anónima, las teorías de calibre como la QCD están entre las teorías más fáciles de formular pero más ricas en cuanto a los fenómenos que abarcan, muchos de los cuales son importantes en el mundo real.

La existencia de la brecha de masa - la ausencia de valores positivos arbitrariamente pequeños en el espectro de masas - es una propiedad simple de la QCD que se mantiene pero que no ha sido demostrada rigurosamente.

Para demostrarlo y ganar el $1 millón del Instituto Clay, ella tiene que definir la teoría cuántica de campos a un nivel matemático riguroso y dominar gran parte de su física de una manera igualmente rigurosa. Entonces es un buen problema matemático, lo suficientemente simple como para ser formulado, cuya solución elevaría el dominio de los matemáticos a un nivel superior.

Al mismo tiempo, el artículo que ganaría el premio de $1 millón casi con seguridad no sería muy importante para los físicos. Los físicos han encontrado muchas formas e ideas complementarias que los han convencido de que la brecha de masa existe. Albergar dudas sobre la brecha de masa o intentar eliminar completamente estas dudas simplemente no es en lo que los físicos teóricos en esta disciplina pasan la mayor parte de su tiempo.

La evidencia de que la brecha de masa es real proviene de cálculos del grupo de renormalización de la fuerza de varias interacciones; simulaciones en la QCD de red; y, entre otros enfoques, las herramientas más modernas se basan en la correspondencia AdS/CFT holográfica. Estas ideas físicas son, argumentablemente, mucho más importantes y valiosas que lo que podría incluirse en el hipotético artículo matemático que demuestra la existencia de la brecha de masa.

Entonces resumiría esta respuesta diciendo que a pesar del entusiasmo positivo con el que comencé, y a pesar del premio que se ha ofrecido, una prueba matemática completa de la brecha de masa no es uno de los problemas más importantes en física - y matemáticas. Cuando se trata de matemáticas, personalmente lo veo mucho menos profundo que, por ejemplo, la Hipótesis de Riemann. Cuando se trata de física, podría enumerar cientos de problemas que son más importantes que una prueba rigurosa de la brecha de masa.

Answer 2

Esta pregunta merece más de una buena respuesta, así que permíteme ofrecer algunos comentarios que aborden más directamente lo que resulta difícil acerca de este problema en particular. El brecha de masa es un desafío importante porque resolverlo debería obligar a los físicos matemáticos a enfrentar directamente la complicada pregunta de cuáles son exactamente los observables de la QCD.

Es bastante fácil describir cómo se ve la QCD a distancias cortas. La teoría es asintóticamente libre, por lo que puedes describir bastante precisamente los quarks, los gluones y su dinámica. Incluso esto puede hacerse rigurosamente; Balaban y Magnen, Seneor y Rivasseau lo hicieron hace unos 30 años.

Pero la QCD se vuelve más complicada a distancias largas. Los quarks y los gluones siguen siendo los bloques básicos de los observables en el infrarrojo, pero ellos mismos no son observables. En cambio, los observables en el IR son cosas como hadrones y glueballs, que son complicados y difíciles de describir en términos de los observables a corta distancia. Un protón está formado por 3 quarks y un enjambre de gluones que los unen, pero no es fácil decir exactamente cómo se ve este enjambre de gluones.

Es bastante probable que una solución al problema del Premio Millenium implicaría llegar a una descripción bastante precisa de cómo se forman los hadrones y mesones (o al menos con una tecnología matemática que podría ser utilizada para abordar esta pregunta). Esto sería un verdadero avance en la capacidad de los matemáticos para lidiar con las QFT, y probablemente sería bastante útil para cosas como la teoría de gauge en retícula. (En la QFT en retícula, puedes salirte con la tuya describiendo imperfectamente tus observables, pero lo pagas en precisión).