Cuando se establece un grupo?

Question

Supongamos que para cada $i\in\mathbb{N}$ tenemos una secuencia de números enteros $$s_i=(n_{i1},n_{i2},n_{i3},\ldots).$$ Considere las siguientes dos operaciones: $$s_i^{-1}:=(n_{1i},n_{2i},n_{3i},\ldots)$$ y $$s_is_j:=(n_{i1}+n_{j1},n_{i2}+n_{j2},n_{i3}+n_{j3},\ldots).$$

Pregunta: Para qué opciones de $n_{ij}$ es el conjunto $S=\{s_i:i\in\mathbb{N}\}$ un grupo con las operaciones anteriores?

Un ejemplo trivial es tomar $s_i=(0,0,0,\ldots)$ todos los $i$. A continuación, $S$ es el grupo con un solo elemento. Hay otros ejemplos? O podemos probar que este es el único ejemplo?

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Edit 1: creo que tengo otro ejemplo, pero es bastante difícil de explicar. Subedit: El ejemplo está mal desde la repetida suma de una fila no aparece en ninguna parte. Parece que tienen que ver con la modificación de la secuencia de Fibonacci. Los primeros elementos de la matriz $(n_{ij})_{i,j\in\mathbb{N}}$ $$ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 2 & 3 & 2 & 3 & 3 \\ 0 &-1 & 0 &-1 &-2 &-1 &-3 &-2 &-2 &-1 &-3 &-2 &-3 \\ 0 &-1 & 1 & 0 &-1 & 1 &-2 & 0 & 0 & 2 &-1 & 1 & 0 \\ 0 &-1 & 2 & 1 & 0 & 3 &-1 & 2 & 2 & 5 & 1 & 4 & 3 \\ 0 &-2 & 1 &-1 &-3 & 0 &-5 &-2 &-2 & 1 &-4 &-1 &-3 \\ 0 &-1 & 3 & 2 & 1 & 5 & 0 & 4 & 4 & 8 & 3 & 7 & 6 \\ 0 &-2 & 2 & 0 &-2 & 2 &-4 & 0 & 0 & 4 &-2 & 2 & 0 \\ 0 &-2 & 2 & 0 &-2 & 2 &-4 & 0 & 0 & 4 &-2 & 2 & 0 \\ 0 &-3 & 1 &-2 &-5 &-1 &-8 &-4 &-4 & 0 &-7 &-3 &-6 \\ 0 &-2 & 3 & 1 &-1 & 4 &-3 & 2 & 2 & 7 & 0 & 5 & 3 \\ 0 &-3 & 2 &-1 &-4 & 1 &-7 &-2 &-2 & 3 &-5 & 0 &-3 \\ 0 &-3 & 3 & 0 &-3 & 3 &-6 & 0 & 0 & 6 &-3 & 3 & 0 \end{de la matriz} $$ Básicamente, empecé con $\begin{smallmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}$ y, a continuación, el resto está determinada únicamente. El elemento de identidad es $0$. (Sí, no es la repetición de una fila, y tiene que ser así.)

Edit 2: Si $S$ es un grupo en esas operaciones, entonces podemos demostrar que el elemento de identidad es $0$ $n_{ij}+n_{ji}=0$ todos los $i,j$. De hecho, vamos a $e$ ser la identidad. A continuación, $$e=s_is_i^{-1}=(n_{i1}+n_{1i},n_{i2}+n_{2i},\ldots).$$ También, $s_i=s_ie$, por lo que $$(n_{i1},n_{i2},\ldots)=(n_{i1}+n_{i1}+n_{1i},n_{i2}+n_{i2}+n_{2i},\ldots)$$ y, por tanto, $n_{ij}+n_{ji}=0$ todos los $i,j$. En particular, $e=0$.

Edit 3: Edición 2, la pregunta es equivalente a encontrar una infinita sesgo de simetría de la matriz de $(n_{ij})_{i,j\in\mathbb{N}}$ tal que la suma de cada dos filas es de nuevo algunos de fila de la matriz. Edición 1 es un intento en dicha matriz.

Answer 1

La condición análoga a la exigencia de que la inversión mapa, para matrices, es que $A^{-1}=A^\mathsf{T}$, lo que en la matriz de términos, se dice que la matriz es una matriz ortogonal: https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_matrix.

Aquí estamos tratando con un concepto similar para las secuencias. Tenga en cuenta que nuestra operación es la suma de las componentes de las secuencias, por lo tanto esperamos que nuestra identidad es el elemento de la secuencia de $e=(0,0,...)$ de todos los ceros. Así, dada una secuencia arbitraria, $s_i=(n_{i1},n_{i2},n_{i3},\ldots)$, esperamos que $s_i^{-1}=(-n_{i1},-n_{i2},-n_{i3},\ldots)$. Si nosotros tuviéramos una lista de todas nuestras secuencias verticalmente, entonces tenemos un infinitary matriz de números similar a una matriz. Aquí, la inversión mapa condición es equivalente a la afirmación de que la inversa de la $i$-ésima fila, es el $i$-ésima columna. Que termwise significa que $n_{ij}=-n_{ji}$ por cada $i$ $j$ en los naturales. En particular, vemos de inmediato que $n_{ii}=0$ todos los $i$. Tenga en cuenta que cambiar el orden de la indexación de las secuencias por los naturales se suelen romper con esta condición: que significa que no es suficiente para la colección de secuencias de ser un grupo con la operación, el conjunto también debe ser indexado en un orden que es compatible con la transposición de la condición. (Esto plantea la interesante pregunta de que los conjuntos de secuencias es esto posible, y para aquellos que no lo es, cómo muchos de los diferentes órdenes de trabajo?)

Edit: con Más precisión, ya que nuestra operación es análoga a la de la matriz , además de en lugar de la multiplicación de la matriz, es análoga a un Sesgo de simetría de la matriz: https://en.wikipedia.org/wiki/Skew-symmetric_matrix

Answer 2

Conjetura, basada en el OP de edición. Las necesidades de una prueba (o un contraejemplo ...)

Deje $A$ ser un cuadrado $n \times n$ sesgar simétrica la matriz cero de la primera fila (y columna). Aumentar el $A$ añadiendo columnas a la derecha, uno para cada suma de los dos (no necesariamente distintos) las columnas de a $A$, para crear un $n \times (n+n^2)$ matriz. Reflexionar y negar que más de la diagonal principal, a continuación, rellenar en la esquina inferior derecha utilizando el mismo sumatorias de cada columna. El resultado será sesgar simétrica.

Si repite esta construcción siempre que se genere un $\mathbb{N} \times \mathbb{N} $ sesgar simétrica matriz cuya columna espacio es cerrado bajo finito de sumas.