Si $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1$, ¿qué podemos decir acerca de la $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}$?

Question

Supongamos que $a,b,c$ son tres números reales tales que a $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1$.

¿Cuáles son los posibles valores de $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}$?

Tenemos $a(c+a)(a+b)+b(b+c)(a+b)+c(b+c)(c+a)=(a+b)(b+c)(a+c)$. Pero yo estoy atascado. Esta pregunta está relacionada con, pero un poco diferente.

Gracias por su ayuda!

Answer 1

Desde $\sum\limits_\text{cyc}\,\frac{a}{b+c}=1$, $$a+b+c=(a+b+c)\,\left(\sum_\text{cyc}\,\frac{a}{b+c}\right)=\sum_{\text{cyc}}\left(\frac{a^2}{b+c}+a\right)\,.$$ Es decir, $$a+b+c=\sum_{\text{cyc}}\left(\frac{a^2}{b+c}\right)+(a+b+c)\,.$$ Por lo tanto, $$\sum_{\text{cyc}}\left(\frac{a^2}{b+c}\right)=0\,.$$

Answer 2

Suponiendo

$$\frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}=1$$

también tenemos

$$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac {ab}{c+a}+\frac {ac}{a+b}= a$$

así como

$$\frac{ab}{b+c}+\frac {b^2}{c+a}+\frac {bc}{a+b}= b$$

y

$$\frac{ac}{b+c}+\frac {bc}{c+a}+\frac {c^2}{a+b}= c$$

Estos tres en suma juntos pero como todos los términos sin $(.)^2$ en el otro lado, en condiciones de clasificación con el mismo denominador se obtiene $$\frac{a^{2}}{b+c} + \frac {b^2}{c+a} + \frac {c^2}{a+b} =$$ $$ a+b+c -(\frac {ac}{b+c} + \frac{ab}{b+c}) - (\frac {ab}{c+a} + \frac {bc}{c+a}) - (\frac {ac}{a+b} + \frac {bc}{a+b}) = $$ $$ a + b + c - (a) - (b)- (c) = 0$$

Answer 3

Sugerencia. Usted tiene

$$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} - 1 = \frac{a^3+b^3+c^3+abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} $$

así como

$$ \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} = \frac{(a^3+b^3+c^3+abc)(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}. $$