Esta pregunta está inspirada en este hilo. Sin embargo, en esta pregunta, me tome un campo arbitrario en lugar de $\mathbb{R}$ y la caída de la suposición de que $P(0)$ debe $0$.
Deje $K$ ser un campo. Determinar todos los $P(X)\in K[X]$ tal que $$P\big(X^2+1\big)=\big(P(X)\big)^2+1\,.$$ En otras palabras, si $Q(X):=X^2+1$, estamos para determinar todos los $P(X)\in K[X]$ que conmuta con $Q(X)$ con respecto al polinomio composición: $$P\big(Q(X)\big)=Q\big(P(X)\big)\,.$$
Primero supongamos que la característica de $K$ no es igual a $2$. He observado que algunas de las soluciones dadas por
(i) $P(X)=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$ $P(X)=\frac{1-\sqrt{-3}}{2}$ si $\sqrt{-3}\in K$, y
(ii) $P(X)=Q_n(X)$$n=0,1,2,3,\ldots$,
donde $Q_0(X):=X$ $Q_n(X):=Q\big(Q_{n-1}(X)\big)$ todos los $n=1,2,3,\ldots$. Son estas todas las soluciones?
Si la característica de $K$ es igual a $2$, entonces el funcional determinada ecuación es equivalente a $$P\left((X+1)^2\right)=\left(P(X)+1\right)^2\,.$$ Si $K=\mathbb{F}_2$, entonces se sigue que $$P(X+1)=P(X)+1\,,$$ de dónde $P(X)$ debe tomar la forma $$P(X)=X^{2^{r_1}}+X^{2^{r_2}}+\ldots+X^{2^{r_k}}\text{ or }P(X)=1+X^{2^{r_1}}+X^{2^{r_2}}+\ldots+X^{2^{r_k}}$$ donde $k$ es un entero positivo impar y $r_1,r_2,\ldots,r_k$ son pares distintos números enteros no negativos.
¿Alguien puede probar o refutar si mi lista es completa cuando la característica de $K$ no es igual a $2$? Bill Dubuque la respuesta en este hilo demuestra que, si $K$ es un subcampo de la $\mathbb{C}$, a continuación, la lista es muy completo. Esto debería implicar que, si $K$ es de carácter $0$ y la cardinalidad de a $K$ es el de la continuidad, a continuación, la lista es completa (como $K$ puede ser embebido en $\mathbb{C}$).
Alguien puede probar a realizar una caracterización de las soluciones al $K$ es un campo arbitrario de la característica $2$? Este caso parece raro polinomio de soluciones. Por ejemplo, cuando se $K=\mathbb{F}_4=\mathbb{F}_2[\alpha]$$\alpha^2+\alpha+1=0$, tenemos las siguientes soluciones $P(X)=\alpha$, $P(X)=X$, $P(X)=X+1$, $P(X)=X^2$, $P(X)=X^2+1$, $P(X)=X^2+X+\alpha$, y $P(X)=X^3+\alpha\,X^2+\alpha\,X$.
ACTUALIZACIONES:
(1) Por el equilibrio de los coeficientes, se puede demostrar que, en el carácter no es igual a $2$, hay una solución de grado $d>0$, y esta solución se encuentra dentro de $\mathbb{F}_p[X]$ donde $\mathbb{F}_p$ es el primer campo de $K$ ( $\mathbb{F}_0:=\mathbb{Q}$ ). Por lo tanto, es suficiente para mostrar que la lista es completa cuando $K$ es un primer campo. Ergo, característico de las $0$, hemos terminado.
(2) En el carácter $2$, a través del equilibrio de los coeficientes, podemos ver que todas las ecuaciones involucradas son cuadrática en los coeficientes, donde las soluciones deben encontrarse dentro de $\mathbb{F}_4[X]$. En consecuencia, podemos tomar $K$ $\mathbb{F}_2$ o $\mathbb{F}_4$.
(3) En la extraña característica de $p$, la lista es de hecho incompleta. Tenga en cuenta que $P(X)=X^{p^k}$ es una solución para todos los $k=0,1,2,\ldots$. Deje $R_p(X):=X^p$. Es cierto que todas las soluciones deben tomar la forma $$P(X)=\left(Q^{\circ k}\circ R_p^{\circ l}\right)(X)$$
para algunos $k,l\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$? Aquí, $\left(F^{\circ 0}\right)(X):=X$ y $$\left(F^{\circ l}\right)(X):=\left(\underbrace{F\circ F\circ \ldots \circ F}_{F\text{ occurs }l\text{ times}}\right)(X)$$ for each $F(X)\en K[X]$ and $l\in\mathbb{Z}_{> 0}$.
(4) resulta que la caracterización en (3) no está completo, al menos no en el carácter $3$. Los polinomios
$$X^{5}+X^3-X\,,\;\;X^7-X^5-X^3-X\,,\text{ and }X^{11}+X^9-X^7+X^5+X^3+X$$
son soluciones en el carácter $3$ que no surgen a partir de la fórmula (3). El caso de la característica $3$ puede ser el único caso especial en el que (3) no dar una caracterización completa.
(5) Combinado con Hurkyl la respuesta, sabemos que todas las soluciones en las características $0$, $2$, y $3$. Hasta ahora, no he sido capaz de encontrar soluciones fuera de (3) en los caracteres mayor que $3$.
