(Rudin) Definición de una función armónica

Question

En el Capítulo 11 de Rudin en la RCA, una función armónica se define como un complejo de función continua $u$ en un plano de conjunto abierto tal que el Laplaciano de $u$, es decir, la suma de su pura de segundo orden en derivadas parciales $$u_{xx}+u_{yy}$$ es $0$. Me preguntaba si esta era la falta de una condición, a saber, que el $u_{xy}=u_{yx}$, porque yo era incapaz de mostrar la siguiente sin esta suposición.

Para cada armónico de la función $u$ cuyo dominio incluye la imagen de un holomorphic función de $f$ en un plano de conjunto abierto $\Omega$, el compuesto de $u\circ f$ es armónica en $\Omega$.

He intentado mostrar esto por sólo bruta de cálculo, y lo que quedó fue $u_{xy}-u_{yx}$ con parciales de $f$ multiplicado en el exterior.

Por supuesto, Rudin más tarde muestra que la armónica de funciones continuas las derivadas parciales de todos los pedidos debido a que el valor real son localmente partes reales de holomorphic funciones, pero creo que su prueba se basa en un cierto conjunto de funciones armónicas...

Answer 1

No es necesario asumir la igualdad de las parciales mixtas en la definición. Aquí un esbozo de una prueba:

En primer lugar, mostrar el principio del máximo para funciones armónicas. Tenga en cuenta que esto implica que las dos funciones que son continuas en un disco cerrado y armónica en el disco del interior, y la igualdad en el límite, son iguales en el interior.

Segundo, tenga en cuenta que el problema de Dirichlet en el disco continua con valor en la frontera tiene una explícita de la solución dada por la separación de variables método de las coordenadas polares, y esta solución es $C^\infty$.

Combinar el anterior para mostrar que cualquier armónico de la función es $C^\infty$ en todas partes. En particular, mezcla de los parciales, continua, son iguales.