En el Capítulo 11 de Rudin en la RCA, una función armónica se define como un complejo de función continua $u$ en un plano de conjunto abierto tal que el Laplaciano de $u$, es decir, la suma de su pura de segundo orden en derivadas parciales $$u_{xx}+u_{yy}$$ es $0$. Me preguntaba si esta era la falta de una condición, a saber, que el $u_{xy}=u_{yx}$, porque yo era incapaz de mostrar la siguiente sin esta suposición.
Para cada armónico de la función $u$ cuyo dominio incluye la imagen de un holomorphic función de $f$ en un plano de conjunto abierto $\Omega$, el compuesto de $u\circ f$ es armónica en $\Omega$.
He intentado mostrar esto por sólo bruta de cálculo, y lo que quedó fue $u_{xy}-u_{yx}$ con parciales de $f$ multiplicado en el exterior.
Por supuesto, Rudin más tarde muestra que la armónica de funciones continuas las derivadas parciales de todos los pedidos debido a que el valor real son localmente partes reales de holomorphic funciones, pero creo que su prueba se basa en un cierto conjunto de funciones armónicas...
