Encontrar la suma de una corriente alterna, no geométrica de la serie

Question

Mirando a la serie siguiente:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n(4n)}{4n^2-1}$$

Converge según Liebnitz criterios. Sin embargo no parece ser una telescópico de la serie (si usted toma parcial de las fracciones, se termina con dos términos positivos), ni una geométricas uno, así que no puedo encontrar una manera para encontrar la suma de sus partes. Tal vez me estoy perdiendo algo aquí.

Gracias por su tiempo y agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

De hecho, es telescópica. Para la suma parcial: $$ S_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \left( \frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}\right)= \sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n}{2n-1} - \sum_{k=2}^{N+1} \frac{(-1)^k}{2k-1} =-1+\frac{(-1)^N}{2N+1}\rightarrow -1$$

Answer 2

Es el momento de que la extrema exageración. Por la diferenciación bajo el signo integral tenemos que $$ \sum_{n\geq 1}\frac{4n\cos(\pi n x)}{4n^2-1}\tag{1} $$ en el intervalo de $x\in(0,2)$ es el coseno de Fourier de la serie de $$ f(x) = -1+\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\cdot\log\cot\left(\frac{\pi x}{4}\right)\tag{2} $$ por tanto, mediante la evaluación de las $(2)$ $x=1$ $$ \sum_{n\geq 1}\frac{4n(-1)^n}{4n^2-1}=\color{red}{-1}\tag{3} $$ de la siguiente manera.

Answer 3

Parcial fracciones obras:

$$\frac{(-1)^n4n}{4n^2-1}=\frac{(-1)^{n}}{2n+1}-\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$$

Esta es una telescópica suma de la forma:

$$\sum_{n=1}^{x} \left(a_{n+1}-a_{n}\right)=a_{x+1}-a_1$$

Con:

$$a_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$$

Answer 4

Este es otro de los "extrema exageración."

Recordando que la Serie de Taylor para la función arcotangente es dada por

$$\arctan(x)=\sum_{n=0}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}$$

nos encontramos con que

$$\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{4n(-1)^n}{4n^2-1}&=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{(-1)^{n}}{2n+1}+\frac{(-1)^{n}}{2n-1}\right)\\\\ &=\left(\arctan(1)-1\right)-\arctan(1)\\\\ &=-1 \end{align}$$

Answer 5

Tercer overkill. Tenemos $$\sum_{n\geq1}\frac{\left(-1\right)^{n}4n}{4n^{2}-1}=2\sum_{n\geq1}\frac{\left(-1\right)^{n}2n-1+1}{4n^{2}-1} $$ $$=2\sum_{n\geq1}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}+2\sum_{n\geq1}\frac{\left(-1\right)^{n}}{4n^{2}-1} $$ $$a=\frac{\pi}{2}-2+1-\frac{\pi}{2}=\color{red}{-1} $$ where the first sum follows from the Taylor series of the $\arctan $ function and the second follows from the summation formula $$\sum_{n\in\mathbb{Z}}\left(-1\right)^{n}f\left(n\right)=-\sum\left\{ \textrm{residuos de }\pi\csc\left(\pi z\right)f(z)\textrm{ a }f\left(z\right)\textrm{ polos}\right\} $$ observing that $$2\sum_{n\geq1}\frac{\left(-1\right)^{n}}{4n^{2}-1}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{\left(-1\right)^{n}}{4n^{2}-1}+1.$$