Cómo calcular el $3^{\sqrt{2}}$, con una simple calculadora?

Question

Cómo calcular el $3^{\sqrt{2}}$, con una simple calculadora?

¿Qué es una calculadora simple de aquí?Es una calculadora que sólo se puede hacer la $4$ principal cálculo y radicales($\sqrt{}$).Y sólo puede mostrar hasta siete dígitos. queremos calcular el $3^{\sqrt{2}}$ con esta calculadora de hasta el $6$ decimal.

En la pregunta está escrito que la pregunta tiene una buena solución no encontrar la respuesta mediante el uso de la calculadora.Qué hacer aquí ?Traté de divid a un número ,multiplicar,etc.Pero puedo encontrar una buena manera de calcularlo.

Answer 1

Te voy a dar el procedimiento general para el cálculo de $x^y$ arbitrarias reales $x,y$ tal que $x > 0$ en una calculadora con precisión limitada.

Primera nota de que sólo necesitamos la atención sobre el caso al $0 < y < 1$.

$3^\sqrt{2} = 3 \times 3^{\sqrt{2}-1} \approx 3 \times 3^{0.414214}$.

El próximo express $y$ en binario. Para hacerlo de repetición ( ×2 ( -1 si el valor es, al menos,$1$ ) ), y los primeros dígitos forman el binario de expansión.

0.414214
0.828428
1.656856
1.313712
0.627424
1.254848
0.509696
1.019392
0.038784
0.077568
0.155136
0.310272
0.620544
1.241088
0.482176
0.964352
1.928704
1.857408
1.714816
1.429632
0.859264
1.718528

$0.414214 \approx 0.011010100000100111101_2$.

Finalmente calcular $\prod_{k=1} x^{a_k/2^k}$ donde $a_k$ $k$- ésimo dígito binario de la expansión de $y$. Para hacerlo de manera eficiente, comienzan con 1, y de ir en orden inverso, desde el último hasta el primer dígito, en cada paso haciendo ( √ ( × $x$ = si el dígito es un $1$ ) ).

[Es muy útil si su calculadora tiene también una función de memoria que se debe utilizar para almacenar $x$ primer lugar, de modo que usted puede recordar en cada multiplicación.]

Aquí están todos los resultados intermedios, asumiendo que su calculadora redondea a $7$ cifras significativas en cada operación.

1
1        3
1.732051
1.316074 3.948222
1.987013 5.961039
2.441524 7.324572
2.706395 8.119185
2.849418
1.688022
1.299239 3.897717
1.974264
1.405085
1.185363
1.088744
1.043429
1.021484 3.064452
1.750558
1.323087 3.969261
1.9923
1.411489 4.234467
2.057782 6.173346
2.484622
1.576268

$3^\sqrt{2} \approx 1.576268 \times 3 \approx 4.728804$.

Como usted puede ver, resulta que la respuesta correcta a $7$ dígitos significativos. Es accidental en este caso, porque incluso el final de la multiplicación por sí sola fuerza que el resultado sea un múltiplo exacto de $3$, y se da el caso de que la respuesta correcta a $7$ dígitos es también un múltiplo de $3$. En general se espera que al menos el último dígito a ser inexacta.

Answer 2

Usted puede calcular $\sqrt{2}$ y escribir en binario $\sqrt{2}=(1.0110..)_2=(b_0.b_1b_2b_3...)_2$ Este debe ser factible en su calculadora (simplemente multiplicar por 2 a recoger y tomar distancia de los 1 que aparece).

A continuación, $$3^{\sqrt{2}} = \prod_{k\geq 0} 3^{b_k/2^k} = 3 \times 3^{1/4} \times 3^{1/8} \times ...$ $ Y los factores $3^{1/2^{k+1}}=\sqrt{3^{1/2^{k}}}$, $k\geq 0$ puede ser calculado de forma recursiva tomando la raíz cuadrada.

Answer 3

Aviso $$2^{23}\sqrt{2} \approx 11863283.20303145\ldots \quad\implica\quad \sqrt{2} \approx \frac{11863283}{2^{23}} $$

En mi casio calculadora (fx3900Pv), puedo calcular $\displaystyle\;3^{\frac{11863283}{2^{23}}}$ el uso de las siguientes $57$ pulsaciones de tecla.

$$\begin{align} 3\; & \sqrt{} \times 3 =\\ & \sqrt{} \sqrt{} \sqrt{} \times 3 = \sqrt{} \times 3 = \sqrt{} \times 3 = \sqrt{} \times 3 =\\ & \sqrt{} \sqrt{} \sqrt{} \times 3 =\\ & \sqrt{} \sqrt{} \sqrt{} \sqrt{} \sqrt{} \sqrt{} \times 3 =\\ & \sqrt{} \sqrt{} \times 3 =\\ & \sqrt{} \sqrt{} \times 3 = \sqrt{} \times 3 =\\ & \sqrt{} \sqrt{} \times 3 =\\ \end{align} $$

Mi calculadora me da $4.728804262$. Compare esto con el valor exacto $$3^{\sqrt{2}} \approx 4.7288043878374149478942833404160053668397164242548\ldots$$ este es exacta a $6$ decimales.

Answer 4

$$y=3^\sqrt{2}$$ $$\log y=\sqrt{2}\log 3$$

la fórmula de $\log 3$ es $$\log 3=\log 2+\frac{1}{1*3}+\frac{1}{2*3^2}+\frac{1}{3*3^3}+...$$ y la fórmula de $\log 2$ es $$\log 2=\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*2^2}+\frac{1}{3*2^3}+...$$

entonces se puede calcular el $\sqrt{2}\log 3$.

después de que el uso de la serie de $e^x$ y el enchufe $x=\sqrt{2}\log 3$ para encontrar el valor de $3^{\sqrt{2}}$

Answer 5

si su calculadora puede calcular entero raíces y exponentiate por enteros sólo plug N=10000 o más $$ \lim_{N\to\infty}\left(\sqrt{2} \left(\sqrt[N]{3}-1\right)+1\right)^N=3^{\sqrt 2} $$ esto funciona en mis 10+ años de edad de la calculadora. para obtener el límite: $$ 3^{\sqrt 2}=\left(3^{\frac{\sqrt 2}{N}}\right)^N\approx\left(1+\frac{\sqrt 2}{N}\log 3\right)^N=\left(1+\frac{\sqrt 2}{N}N\log 3^{\frac{1}{N}}\right)^N=\left(1+\sqrt 2\log{ (1+(3^{\frac{1}{N}}-1))}\right)^N\approx\big[\sqrt{2} (\sqrt[N]{3}-1)+1\big]^N $$