¿Por qué es cohomology el producto directo de la $H^n$?

Question

Durante una charla que he mencionado en el paso de Borel del resultado que para $G$ conectado Mentira grupo, $H^*(BG;\mathbb Q)$ es un polinomio de anillo. Un miembro de la audiencia me corrigió en muy corto fin de que no, de hecho es una potencia de la serie ring. Me respondió que mientras que la instrucción de seguir a partir de un común alternativo definición de cohomology, para nuestra limitada computacional efectos en el resto de la charla el estándar Hatcher definición

$$H^* X := \bigoplus H^n X$$

sería problemático.

La respuesta fue que no, que todavía estaba equivocado. Como esta pregunta se alargó, y me dejó de ser capaces de imaginar los otros miembros de la audiencia todavía estaba escuchando, me asusté un poco y vino a el un poco de credibilidad que dañan el compromiso de que mi interlocutor podría mentalmente interponer un segundo par de corchetes cuando nos enfrentamos a un polinomio de anillo en la secuela. (Él se calmó, pero unappeased.)

1. ¿Qué hace la definición de $H^*X := \prod H^n X$ de ganancia a nosotros? Los ejemplos que conozco son ser capaces de definir el Chern carácter $K^* \to H^*(-;\mathbb Q)$ y, en general, la primera clase de Chern de complejo orientado a la cohomology teorías, pero estoy esperando algunas global, sistemático y moral de la razón.

2. ¿Cuáles son algunos de los verdaderos errores producidos por $H^* X := \bigoplus H^n X$, de tal manera que este señor le considerarlo no como a veces-menos-de-conveniente de la convención, sino también una flagrante mentira?

3. Hay alguna ventaja, por otro lado, la retención de la suma directa de definición?

4. Uno de los encuentros, así como la convención de que un anillo graduado $A$ es una secuencia $(A_n)_{n \in \mathbb Z}$ de abelian grupos y bilineal mapas de $A_m \times A_n \to A_{m+n}$ reunión una lista de condiciones. Hay una fuerte razón para preferir esto a través de la suma directa de definición, aparte de eliminar a la pregunta "¿Cuál es el grado de $0$?"?

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, pero tal vez da una pista para la respuesta de la pregunta 1.

Una característica importante de la clase es el Chern carácter. Para (complejo) de la línea de paquetes que se define como el formal exponencial de la primera clase de chern, es decir,$ch(L)=e^{c_1(L)}:=1+c_1(L)+\frac{c_1(L)^2}{2!}+\ldots$. Para dimensiones superiores vector haces uno define el chern carácter formal mediante un desdoblamiento en chern raíces. El chern carácter se relaciona $K$-teoría y cohomology, como la exponencial tiene la maravillosa propiedad de giro de sumas en productos.

Si una célula no es un complejo finito, la suma, de ahí el chern carácter, naturalmente vive en $\prod_n H^{n}(X;\mathbb{Q})$ e no $\oplus_n H^{n}(X;\mathbb{Q})$. Esto ocurre por las más importantes de chern personaje de todos, el de chern carácter de la tautológica paquete de más de $\mathbb{CP}^\infty$. Tenga en cuenta que $\mathbb{CP}^\infty$ es la clasificación de espacio de $U(1)$.