Breve demostración del determinante de a $4$ por $4$ matriz

Question

Demostrar que $\det \begin{bmatrix}x&y&z&t\\-y&x&-t&z\\-z&t&x&-y\\-t&-z&y&x\end{bmatrix} = (x^2+y^2+z^2+t^2)^2$

Estoy buscando una prueba elegante que no implique fuerza bruta.

Como la respuesta está dada, creo que podemos argumentar que el determinante aquí es un polinomio homogéneo $P(x,y,z,t)$ con grado $4$ que es invariante bajo $x\to -x$ y permutaciones de $x,y,z,t$ .

Como resultado, $P(x,y,z,t) = \lambda (x^4+y^4+z^4+t^4) + \delta (x^2y^2+x^2z^2 + x^2t^2+y^2z^2 + y^2t^2 + z^2t^2)$

$\lambda$ y $\delta$ se puede encontrar calculando $P(0,0,0,1)$ o algo así.

El problema es que no parece fácil demostrar que $P$ no cambia bajo la permutación de $x,y,z,t$ ni que sea invariable cuando se niegan las variables.

¿Puede sugerir otra prueba breve, o demostrar las dos afirmaciones anteriores?

Answer 1

Sugerencia :

$$ \begin{pmatrix} x & y & z & t \\ -y & x & -t & z \\ -z & t & x & -y \\ -t & -z & y & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & -y & -z & -t \\ y & x & t & -z \\ z & -t & x & y \\ t & z & -y & x \end{pmatrix} = (x^2+y^2+z^2+t^2) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Answer 2

La matriz tiene la forma de bloque de dos por dos $$M=\begin{pmatrix} xI+yJ & zI+t J \\ -zI+t J & xI-yJ \end{pmatrix}$$ donde $I$ es la matriz de identidad de 2 por 2 y $J=\begin{pmatrix} 0&1\\-1&0 \end{pmatrix}$ . Como estas cuatro matrices conmutan, el determinante de $M$ tratando los elementos como escalares y tomando el determinante del resultado: \begin {align} \det {M}&= \det [(xI+y J)(xI-yJ)-(-zI+tJ)(-zI-tJ)] \\ &= \det [(x^2+y^2+z^2+t^2)I] \\ &=(x^2+y^2+z^2+t^2)^2. \end {align}