Relación entre la regla de l'Hospital y la propiedad del mínimo límite superior.

Question

Declaración de la regla de L'Hospital

Dejemos que $F$ sea un campo ordenado.

La regla de L'Hospital. Dejemos que $f$ y $g$ sea $F$ -funciones valoradas definidas en un intervalo abierto $I$ en $F$ . Sea $c$ sea un punto final de $I$ . Nota $c$ puede ser un número finito o uno de los símbolos $-\infty$ , $+\infty$ . Supongamos que $f'(x)$ y $g'(x)$ están definidos en todas partes en $I$ . Supongamos que $g(x)$ y $g'(x)$ nunca son cero y nunca cambian de signo en $I.$ Supongamos que un de las dos hipótesis siguientes se cumple:

1. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = \lim_{x \rightarrow c} g(x) = 0$
2. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x) = \pm \infty$

Supongamos que $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$$ donde $L$ es un número finito o uno de los símbolos $-\infty$ , $+\infty$ .

Entonces $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = L.$$

Motivación

La prueba estándar de la regla de l'Hospital (cuando $F=\mathbb{R}$ ) utiliza el teorema del valor medio de Cauchy. Ver:

• Taylor, A. E. (1952), "L'Hospital's rule", Amer. Math. Monthly, 59: 20-24
• https://en.wikipedia.org/wiki/L%27H%C3%B4pital%27s_rule#General_proof
• Apostol, "Análisis matemático"

Para un campo ordenado, el teorema del valor medio es equivalente a la propiedad del límite superior mínimo. Ver:

• ¿Equivalencia del teorema de Rolle, del teorema del valor medio y de la propiedad del límite superior mínimo? )
• https://arxiv.org/abs/1204.4483

Otra prueba de la regla de l'Hospital puede basarse en la convergencia de las secuencias monótonas acotadas y en la afirmación de que $f' > 0$ en un intervalo $I$ implica $f$ estrictamente creciente en $I$ . Véase Taylor, A. E. (1952), "L'Hospital's rule", Amer. Math. Monthly, 59: 20-24.

La convergencia de las secuencias monótonas acotadas es equivalente a la propiedad del límite superior mínimo. La afirmación de que $f' > 0$ en $I$ implica $f$ estrictamente creciente en $I$ también es equivalente a la propiedad del límite superior mínimo.

La regla de L'Hospital es falsa para $F=\mathbb{Q}$ . El siguiente esquema de prueba está adaptado del ejercicio 7.8 del libro de Korner "A Companion to Analysis". Elija una secuencia $a_n \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ avec $4^{-n-1} < a_n < 4^{-n}$ para $n=1,2,\ldots$ . Definir $I_0 = \{x \in \mathbb{Q} : a_0 < x \}$ y $I_n = \{x \in \mathbb{Q} : a_n < x < a_{n-1}\}$ . Aviso $4^{-n-1} < x< 4^{-n}$ siempre que $x \in I_n$ . Definir $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ por $f(0)=0$ y $f(x) = 8^{-n}$ si $|x| \in I_n$ . Recuerde que trabajamos en el campo ordenado $F=\mathbb{Q}$ . Tenemos $f'(x)=0$ para todos $x \in \mathbb{Q}$ y $$ \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^2} = \infty \quad \text{and} \quad \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{2x} = 0. $$

Pregunta

¿Cuál es la relación lógica entre la regla de l'Hospital y la propiedad del límite superior mínimo?

¿Implica la regla de l'Hospital la propiedad del mínimo límite superior? ¿O existe un campo ordenado con la regla de l'Hospital pero sin la propiedad del mínimo límite superior?

Relacionado

Esta es una pregunta relacionada. Límite de la derivada y LUB

Se pregunta (en mi notación) si el siguiente criterio de diferenciabilidad implica la propiedad del mínimo límite superior.

Criterios de diferenciabilidad. Dejemos que $f$ ser un $F$ -función valorada definida en un intervalo abierto $I$ . Supongamos que $f$ es continua en $I$ . Supongamos que $f$ es diferenciable en $I$ excepto en un punto $c$ en $I$ . Si $\lim_{x \rightarrow c} f'(x)$ existe, entonces $f'(c)$ existe y es igual a este límite.

La regla de L'Hospital implica este criterio de diferenciabilidad. Véase, por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/L%27H%C3%B4pital%27s_rule#Corollary

Answer 1

Aquí vamos a suponer $F$ es no arquimédica.

Para cada infinitesimal* $x \in F^{\times}$ , dejemos que $[x]$ denotan la clase arquimédica $\bigcup \limits_{n \in \mathbb{N}^*} \left]-n |x|;-\frac{1}{n} |x|\right[ \cup \left]\frac{1}{n}\cdot|x|;n\cdot|x|\right[$ de $x$ en $F^{\times}$ . Sea $C$ denotan el conjunto de clases acrílicas en $F^{\times}$ .

( $C$ es al menos contable ya que para cada infinitesimal $x$ , $[x];[x^2];\ldots;[x^n];\ldots$ son distintos).

Ahora dejemos que $\varphi$ sea una función de elección sobre $C$ y que $f$ sea el mapa definido por $f(x) = \varphi([x])$ si $x$ es infinitesimal, y $f(y) = 0$ si $y$ no es un infinitesimal.

$f$ es diferenciable en $F^{\times}$ avec $f' = 0$ ya que para $x \neq 0$ , $f$ es constante en la vecindad $[x]$ de $x$ . Además, $\lim \limits_{x \to 0} f(x) = 0$ ya que para $\varepsilon > 0$ infinitesimal, $\forall x \in \left]-\varepsilon^2;\varepsilon^2\right[$ , $|f(x)| \leq \varepsilon$ .

Sin embargo, $\frac{f}{\operatorname{id}_{F^{\times}}}$ no converge en $0$ : dado $r > 0$ e infinitesimal, y $n \in \mathbb{N}^*$ , $[\frac{\varphi(r)}{n}] = [\varphi(r)]$ Así que $\dfrac{f(\frac{\varphi([r])}{n})}{\frac{\varphi([r])}{n}} = \dfrac{\varphi([r])}{\frac{\varphi([r])}{n}} = n$ .

Creo que este contraejemplo (inspirado en el que usted propuso para $\mathbb{Q}$ ), junto con una adaptación de su argumento para $\mathbb{Q}$ a cualquier subcampo propio arquimédico de $\mathbb{R}$ , demuestra que la regla de l'Hospital es equivalente a la propiedad LUB. (Por cierto, el contraejemplo también se ajusta a mi pregunta ya que $f$ no es diferenciable en $0$ .)

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* $x$ tal que $\forall n \in \mathbb{N}, n |x| < 1$ .