Sea $$\sum_{0 \leq i\leq n} a_ix^i$$
un polinomio (coeficientes reales) con al menos dos raíces reales. ¿Hay alguna forma algebraica de demostrar que para cualquier par de raíces $k_1, k_2$ de este polinomio, el polinomio
$$\sum_{1 \leq i\leq n} i \cdot a_ix^{i-1} $$
admite al menos una raíz $c$ que cumple $k_1
Analíticamente, esto es, por supuesto, una consecuencia del teorema de Rolle.
Editar: "Álgebra" es tan amplio como desees. Elemental o abstracto. La completitud de $\mathbb{R}$ es esencial, por lo que no será puramente algebraico. Principalmente esperaba algo sin derivadas.
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¿Qué calificaría como una "prueba puramente algebraica" para ti? ¿Algo solo de teoría de anillos/ideales sin ningún análisis en absoluto? Puede ser difícil, o tal vez incluso imposible, lograrlo.
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También creo que una prueba "puramente algebraica" sería imposible. Filosóficamente, mi motivación es que el álgebra trata con igualdades, mientras que las desigualdades son el ámbito del análisis.
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Esto no es cierto para todos los anillos, incluso para campos ordenados (toma los racionales). Así que mi suposición sería que esto tiene que usar la topología de los números reales. ¡Muy buena pregunta sin embargo!
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Es cierto para los números reales pero no para los racionales. La completitud analítica es difícil de definir algebraicamente.
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@Arthur Si el teorema fundamental del álgebra se puede demostrar algebraicamente, ¿por qué no esto?
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Let $f(x) = x(x-3)(x-6) = x^3-9x^2+18x$. Luego $f(1) = 0$ y $f(2) = 0$. Tenemos $f'(x) = 3x^2 - 18x + 18$, y sus raíces reales, si existen, son $3\pm\sqrt{3}$. ¿Tienes una demostración puramente algebraica de la existencia de una raíz cuadrada real de $3$? ¿De hecho, tienes una demostración puramente algebraica de que cada número real positivo tiene una raíz cuadrada real?
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¿Qué prueba puramente algebraica del Teorema Fundamental del Álgebra tienes en mente?
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@KCd suspiro, editaré "puramente". Honestamente, solo quería una prueba novedosa que no use cálculo. Está bien si no es "pura".
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@Daniel Robert-Nicoud, las desigualdades no son exclusivas del ámbito del análisis. El concepto de un campo ordenado, por ejemplo, no necesita análisis. Límites e infinito (anidado) sistemas de desigualdades pertenecen al análisis.
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No encontrarás una prueba novedosa que evite las ideas del cálculo/topología básica. Mira math.stackexchange.com/questions/25883/… para ver cuán estrechamente conectado está el teorema de Rolle con la propiedad del límite superior del conjunto de los números reales, una propiedad esencialmente "analítica". Es cierto que en ese razonamiento se utilizan funciones no polinómicas, pero creo que complementado con los ejemplos aquí deberías entender por qué es bastante dudoso pensar que existe alguna prueba "novedosa" del teorema de Rolle.
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@KCd De acuerdo. Considera publicar tus comentarios como una respuesta; estaría encantado de aceptarla.