¿Por qué la "contabilidad" en la definición de las medidas de Lebesgue?

Question

Según Wikipedia, la definición de la medida exterior de Lebesgue de un conjunto $E$ es la siguiente:

$$ \lambda^*(E) = \operatorname{inf} \left\{\sum_{k=1}^\infty l(I_k) : {(I_k)_{k \in \mathbb N}} \text{ is a sequence of open intervals with } E\subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k\right\} $$

Supongamos que eliminamos el requisito de contabilidad: $$ \lambda^*(E) = \operatorname{inf} \left\{\sum_{I \in X} l(I) : X \text{ is a set of open intervals with } E\subseteq \bigcup_{I \in X} I\right\} $$

(Donde podríamos simplemente definir $\sum_{I \in X} l(I)$ para ser $\operatorname{sup} \left\{\sum_{I \in Y} l(I) : Y \text{ is a finite subset of } X \right\}$ .)

¿Por qué no va a funcionar? ¿Qué se rompería si eliminamos el requisito de contabilidad?

Answer 1

Si $\sum_{I \in X} l(I)=\infty$ entonces hay un subconjunto contable de $X$ que suman hasta el infinito también.

Si $\sum_{I \in X} l(I)<\infty$ entonces sólo hay un número contable de términos de $l(I)$ es distinto de cero.

En cualquier caso, sería lo mismo que permitir sólo términos infinitos contables.

Answer 2

Funcionará. La cosa es que si $X$ es incontable la suma es necesariamente infinita. Por lo tanto, sólo las familias contables $X$ dará aproximaciones al ínfimo, si es que es finito.

Answer 3

Mientras trabajes con los reales, ten en cuenta que existe una base contable de conjuntos abiertos para la topología, concretamente la colección de intervalos abiertos con extremos racionales. Cualquier conjunto abierto en la topología se puede escribir como una unión de conjuntos de esta base. Así que tu conjunto $\cup_{I\in X} I$ puede escribirse como una unión contable (ya que sólo hay un número contable de conjuntos en la base) de intervalos abiertos (probablemente diferentes de los intervalos en $X$ ) de la base. En la definición, el $\inf$ debe realizarse mediante una unión contable de intervalos abiertos, porque cualquier unión de intervalos abiertos (de hecho cualquier conjunto abierto) es equivalente a una unión de intervalos abiertos de esta base contable, por lo que necesariamente es una unión contable. Como ya han señalado otros, esto no funciona en espacios más generales, de ahí la necesidad de ser específicos en la definición, pero para los reales, no hay necesidad de más que una colección contable de intervalos.

Answer 4

La respuesta es mucho más sencilla que la dada anteriormente. En primer lugar, la suma de una colección de reales no negativos (incluso incontables) se define como la suma de sus "subsumas" finitas. Sin embargo, en su comentario

(Donde podríamos simplemente definir $\sum_{I \in X} l(I)$ para ser $\sup\{\sum_{I \in Y} l(I):\ Y \text{ is a finite subset of } X\}$ .)

la cuestión es que la colección $\{I \in Y\}$ en general no cubre el conjunto $E$ Por lo tanto, la suma finita correspondiente no aparece en "su" versión de una medida exterior.

En segundo lugar, si el conjunto $E$ es ilimitado, la única manera de cubrirlo con un número finito de intervalos es cuando uno de ellos es ilimitado - pero entonces la suma de sus longitudes será igual a $\infty$ . Así, todos los conjuntos no limitados (por ejemplo, los enteros) tienen infinita su medida exterior.

Por último, no es demasiado difícil comprobar que para un conjunto acotado $E$ su medida exterior de $E$ coincide con la medida de Lebesgue ("clásica") del cierre topológico de $E$ (este cierre es compacto en ese caso).