Nos en clase $x ^ 2 + y ^ 2$, que era fácil y tenía por tarea $2 x ^ 2 + 2xy + 3y ^ 2$, que lo hice (sus valores (si no cuadrados) debe ser divisible por números primos de la forma, o de la forma $x ^ 2 + 5y ^ 2$ y claramente no pueden estar todos el último!).
Sólo para probar mi método bajaron el coeficiente medio de uno - y se topó con problemas...
Este ejemplo moral proviene del campo de la clase de teoría. Es muy fácil basta con que puede hacerlo usando elemental de la teoría algebraica de números, pero no de la clase de teoría de campo.
Escribe $\theta = (1+\sqrt{-23})/2$; obedece a $\theta^2-\theta+6=0$. Vamos a $R$ ser el anillo de $\mathbb{Z}[\theta]$. Este es el anillo de enteros en el campo de $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$. Resulta que el grupo de clase de $R$ es $\mathbb{Z}/3$, representantes de los tres ideales de las clases son: $$I_0:= \langle 1 \rangle,\ I_1:=\langle 2, \theta -1 \rangle,\ I_2:=\langle 2, \theta \rangle.$$ Os dejo esto para que usted cheque de la norma de Minkowski límites. Tenga en cuenta que $I_1 I_2 = \langle 4, 2(\theta-1), 2 \theta, 6 \rangle = \langle 2 \rangle$, entonces $I_1^{-1} = (1/2) I_2$ y viceversa. Nota para el futuro uso que estamos dando a $\mathbb{Z}$ de base para los dos últimos, de los ideales, y que $\langle 1, \theta \rangle$ es $\mathbb{Z}$-base $I_0$.
Un arbitrario ideal equivalente a $I_0$ es de la forma $\langle x+y\theta \rangle$, y tenemos $N(\langle x+y\theta \rangle) = x^2 - xy + 6 y^2$. Un arbitrario ideal equivalente a $I_0$ es de la forma $\langle x+y\theta \rangle$, precisamente de dos maneras, porque el grupo de la unidad de $R$ es $\pm 1$. Así $$\# \{ I \subseteq R : \ I \sim I_0 \ \mbox{y} \ N(I) = n \} = \frac{1}{2} \# \{(x,y) : x^2 - xy + 6y^2 =n \}. \quad (1)$$
Del mismo modo, un ideal equivalente a $I_1$ es de la forma $\alpha I_1$, $\alpha \en I_1^{-1} = (1/2) I_2$. Este $\alpha$ parece $(1/2) (2 x + y(\theta -1))$ para algunos enteros de $x$ y $y$ y tenemos $N(\alpha I_1) = N(\alpha) N(I_1) = (x^2 - xy +3 y^2/2) \cdot 2 = 2x^2 - 2xy + 3 y^2$ (ejercicio!). Corriendo por el mismo argumento de antes: $$\# \{ I \subseteq R : \ I \sim I_1 \ \mbox{y} \ N(I) = n \} = \frac{1}{2} \# \{(x,y) : 2 x^2 - xy + 3y^2 =n \}. \quad (2)$$ Del mismo modo, $$\# \{ I \subseteq R : \ I \sim I_2 \ \mbox{y} \ N(I) = n \} = \frac{1}{2} \# \{(x,y) : 2 x^2 + xy + 3y^2 =n \}. \quad (3)$$
Llamar a estos números $a_0(n)$, $a_1(n)$ y $a_2(n)$. Queremos saber que $a_2(p)$ es positivo para un número infinito de números primos.
Hemos única factorización en ideales en el anillo $R$. Así tenemos el análogo de Euler producto $$\sum_n \frac{a_0(n) + a_1(n) + a_2(n)}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{(1 - p^{s})^{a_0(p)+a_1(p)+a_2(p)}}.$$
Deje que $\omega$ ser una primitiva raíz cúbica de la unidad. Desde el grupo de clase es de $\mathbb{Z}/3$, con $[I_1]^2=[I_2]$ y $[I_1]^3=[I_0]$, también tenemos las identidades: $$\sum_n \frac{a_0(n) + \omega a_1(n) + \omega^2 a_2(n)}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{(1-p^{s})^{a_0(p)}} \frac{1}{(1-\omega p^{s})^{a_1(p)}} \frac{1}{(1-\omega^2 p^{s})^{a_2(p)}}.$$ $$\sum_n \frac{a_0(n) + \omega^2 a_1(n) + \omega a_2(n)}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{(1-p^{s})^{a_0(p)}} \frac{1}{(1-\omega^2 p^{s})^{ a_1(p)}} \frac{1}{(1-\omega p^{s})^{ a_2(p)}}.$$
Definir estas tres sumas de $L_0(s)$, $L_1(s)$ y $L_2(s) de dólares. Mediante el uso de ecuaciones $(1)$, $(2)$ y $(3)$, y la aproximación de las sumas por integrales, vemos que $L_0(s)$ tiene una simple polo $s=1$ mientras $L_1(s)$ y $L_2(s)$ están delimitadas como $s \a 1$. El uso explícito de computación numérica, uno puede comprobar que $L_1(s)$ y $L_2(s)$ no desaparecen en $s=1$.
Ahora el final del juego es exactamente igual que la prueba de la del teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas: tomar registros de las ecuaciones anteriores para deducir que $$\log \left( \frac{1}{s-1} \right) + O(1) = \sum \frac{a_0(p)+a_1(p)+a_2(p)}{p^s} + O(1)$$ $$O(1) = \sum \frac{a_0(p)+\omega a_1(p)+ \omega^2 a_2(p)}{p^s} + O(1)$$ $$O(1) = \sum \frac{a_0(p)+\omega^2 a_1(p)+ \omega a_2(p)}{p^s} + O(1)$$
Por lo tanto, tienen $$\sum \frac{a_2(p)}{p^s} = (1/3)\log \left( \frac{1}{s-1} \right) + O(1) \ \mbox{como}\ s \1^{+}$$ y, en particular, de $a_2(p)$ es distinto de cero infinitamente a menudo.
Entonces, ¿dónde está el campo de clase de teoría? Para $R$ el anillo de enteros de un campo de número, $H$ la clase de grupo de $R$ y $\chi: H \to \mathbb{C}^*$ a no trivial de carácter, definir $L(\chi, s) = \sum_{I \subseteq R} \chi([I]) N(I)^{s}$. Si usted quería generalizar esta prueba a un arbitrario cuadrática campo de número, usted quiere saber que $L(\chi, s) \neq 0$. Para cualquier particular $R$ y $\chi$, usted puede comprobar esto con la mano. En Dirichlet del teorema, el análogo resultado puede comprobarse observando la función zeta de la cyclotomic campo. En el caso general, se puede comprobar mirando el $\zeta$ función de la clase de campo, pero sólo una vez que usted sabe que esto existe!
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