Base de cohomology de la curva de

Question

Deje $R$ ser una superficie de Riemann de género g y $p\in R$ un punto. Estoy buscando una manera de calcular linealmente independientes diferencial 1-formas en $R$ que:

• están cerrados y no exacta, no holomorphic, no anti-holomorphic
• son cero en $p$

Hay una forma estándar de hacerlo?

Gracias

Answer 1

El hyperelliptic curva de género $g$ definido por la ecuación afín $y^2 = f(x)$ $f$ grado $2g + 1$ tiene por base de su espacio de holomorphic formas diferenciales $y^{-1}x^k\,dx$, $k = 0, 1, \ldots, g - 1$ (usted puede comprobar que cada uno de estos tienen ningún polo en un punto de Weierstrass, incluyendo el que está en el infinito).

¿Responde esto a tu pregunta?

No$\ldots$ de las formas no puede ser holomorphic y han de ser cero en un determinado punto de Weierstrass $p$.

Tienes razón; yo estaba un poco demasiado apresurada y yo no lea cuidadosamente la pregunta. Aquí está espero una respuesta que no es más que el punto.

Supongamos que tenemos un compacto conectado superficie de Riemann $R$ de género $g$, y una base $\omega_1, \ldots, \omega_g$ de su espacio de holomorphic diferenciales. Denotar por $\omega_{g + 1}$ el conjugado complejo de $\omega_i$, de modo que el cohomology clases de $[\omega_1], \ldots, [\omega_{2g}]$ hacer una base de $H^1(R, \mathbb{C})$. (Contando los días hasta que Jacobino lanza una fiesta para celebrar HRC ganar!)

Ahora suponga también un punto de $p$ $R$ (en su caso: $g = 2$ $p$ es un punto de Weierstrass). Integrar a $\omega_i$ en un barrio de $p$ a un complejo de valores de la función. Multiplique esta función con una función derivable que es constante $1$ en un barrio de $p$ y cero fuera de un barrio de $p$ en el dominio de la integral. Esto se da en un complejo de valores de función derivable $f_i$ $R$ con la propiedad de que $df_i$ coincide con $\omega_i$ en un barrio de $p$. Así que si ponemos $\eta_i$ $:=$ $\omega_i$ $-$ $df_i$, entonces $[\eta_i]$ $=$ $[\omega_i]$ y $\eta_i$ es cero cerca de $p$. Por lo tanto el $\eta_i$'s son como se desee.