Es $X/A$ contráctiles si tanto $X$ $A$ son?

Question

Deje $X$ ser un contráctiles espacio topológico. Deje $A\subseteq X$ ser un contráctiles subespacio. Es el cociente del espacio de $X/A$ necesariamente contráctiles?

No es difícil demostrar que esto es cierto si, por ejemplo, el par $(X,A)$ tiene el homotopy extensión de la propiedad (ver, por ejemplo, la Proposición 0.17 de Hatcher, Topología Algebraica).

Algunos amigos y me divierte a nosotros mismos tratando de responder a esta pregunta sin suponiendo que $(X,A)$ tiene el HEP, pero fueron infructuosos. Cualquier visión se agradece.

Answer 1

Cannon y Conner tiene un contraejemplo en su artículo "Sobre el Grupo Fundamental de Una dimensión de los Espacios." Ver Ejemplo 2.0.2. Este es un doble cono en el Hawaiano Pendiente de espacio, que no es contráctiles. Sin embargo, si se expande el punto de contacto entre los dos conos para un segmento de línea, entonces es contráctiles.