Doble índice de la suma: $\sum_{ 1 \leq i < j \leq 3 }(2i+j). $

Question

Entiendo múltiples sumatorias, pero no sé cómo hacer este resumen. Podría alguien desglosar esta información para mí?

Por ejemplo: $$\sum_{ 1 \leq i < j \leq 3 }(2i+j). $$

Answer 1

Con dos parámetros de $i$ $j$ bajo la suma, esto es una suma doble. Esto significa que usted tiene que encontrar todas las $i$ $j$ que son $1$, $2$, o $3$, y también se $i < j$. Por lo tanto, los posibles pares de $$(i, j) \in \{(1, 2), (1, 3), (2, 3)\}.$$ A continuación, conecte cada uno de los pares en la expresión de $2i + j$ y añadir todo: $$[2(1) + 2] + [2(1) + 3] + [2(2) + 3] = 4 + 5 + 7 = 16.$$

Answer 2

Creo que es más claro para llamar a $a_{ij} = 2i+j$ a explicar esto. Debemos sumar sobre todos los pares de $(i,j)$ satisfacción $1\leq i < j \leq 3$, que es: $$\sum_{ 1\leq i < j \leq 3 } a_{ij} = a_{12} + a_{13} + a_{23} = 4 + 5 + 7 = 16. $$

En general, usted puede volver a escribir como un doble de la suma: $$\sum_{1 \leq i < j\leq n} a_{ij} = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n a_{ij}.$$

Answer 3

Esta notación está diciendo que usted tome la suma de todos los términos de $2i + j$ donde $1 \leq i \lt j \leq 3$. Dicho esto, vamos a escribirlo.

$$ \sum_{1 \leq i \lt j \leq 3}2i + j = (2\cdot 1 + 2) + (2\cdot 1 + 3) + (2\cdot 2 + 3). $$

En este caso, sólo hay tres términos de la suma. Tenga en cuenta que nosotros tomamos la suma de todos los pares ordenados $(i, j)$ donde $1 \leq i \lt j \leq 3$.

Answer 4

Como se ha dicho, esta es una suma doble.

Si nos vamos a la límite superior se $n$ en lugar de $3$, se puede convertir explícitamente en en una suma doble y a continuación, se evalúan como este:

$\begin{array}\\ \sum_{ 1 \leq i < j \leq n }(2i+j) &=\sum_{1 < j \le n}\sum_{1\le i < j}(2i+j)\\ &=\sum_{j=2}^{ n}\sum_{i=1}^{j-1}(2i+j)\\ &=\sum_{j=2}^{ n}\sum_{i=1}^{j-1}(2i)+\sum_{j=2}^{n}\sum_{i=1}^{j-1}(j)\\ &=\sum_{j=2}^{ n}2\dfrac{(j-1)j}{2}+\sum_{j=2}^{n}j(j-1)\\ &=2\sum_{j=2}^{n}j(j-1)\\ \end{array} $

y esto debe ser capaz de evaluar.