Cuando se $\sin(x) = \cos(x)$?

Question

¿Cómo resolver la siguiente ecuación?

$$\cos(x) - \sin(x) = 0$$

Necesito encontrar el mínimo y el máximo de esta función:

$$f(x) = \frac{\tan(x)}{(1+\tan(x)^2}$$

Yo diferenciadas, y con el fin de encontrar los puntos estacionarios necesito poner el numerador igual a cero. Pero no puedo encontrar una manera de resolver esta ecuación trigonométrica.

Answer 1

He aquí una sugerencia alternativa, con un carácter más geométrico sabor: ¿cuáles son los ángulos en un isósceles de ángulo recto del triángulo?

Answer 2

Sugerencia: Tome la ecuación $$ \sin(x) = \cos(x) $$ dividiendo ambos lados por $\cos(x)$ para obtener $$ \tan(x) = 1 $$

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De forma alternativa, mediante una suma-a-la fórmula del producto, podemos observar que $$ \sin(x) - \cos(x) = \sqrt{2}\sin(x - 45^\circ) $$

Answer 3

Un enfoque directo, el uso de la unidad de círculo definición de seno y coseno.

Considere la posibilidad de un círculo unidad en torno al origen de un plano Cartesiano. Ya que en este problema $x$ ya está en uso como un ángulo, no podemos etiquetar los dos ejes $x$ $y$ como de costumbre, así que vamos con la etiqueta $u$ (en el eje horizontal) y $v$ (en el eje vertical) en su lugar. A continuación, la unidad de círculo definición dice que si tomamos un punto en un ángulo $x$ radianes en sentido antihorario alrededor del círculo unidad, las coordenadas en ese momento se \begin{align} u &= \cos x, \\ v &= \sin x. \end{align}

La ecuación de $\cos x = \sin x$ nos dice que $u = v$, que es la ecuación de una recta en $\frac\pi4$ radianes ($45$ grados) a través del origen. Pero tenemos estas coordenadas, en primer lugar, como las coordenadas de un punto en el círculo unidad, por lo que la solución debe estar en un punto donde la la línea $u = v$ cruza el círculo unidad. Dibujar una gráfica, como en la figura siguiente: hay dos de estos puntos.

Las coordenadas de estos puntos pasan a ser $\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)$ y $\left(-\frac{\sqrt2}{2},-\frac{\sqrt2}{2}\right)$, pero incluso sin pensando que fuera, ya que usted sabe que el ángulo de la línea $u=v$ usted puede ver fácilmente los dos posibles valores de $x$ dentro del rango de $0$ $2\pi$radianes ($0$$360$grados).

Answer 4

1) $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

Por lo $2 \cos^2 x = 1$

Por lo $\cos x = \sin x = \pm \sqrt{\frac 12}$

2) $\sin x$ es el lado adyacente de un triángulo rectángulo. $\cos x $ es el lado opuesto. $\sin x = \cos x$ significa que el triángulo es isoceles. Así que la base de los ángulos son congruentes. Por lo $x + x + 90 = 180$.

3) $\sin x = \cos (\frac {\pi}2 -x)$

por lo $\cos x = \sin x = \cos (\frac {\pi}2-x)$

Puede usted averiguar ahora?

Hay algunos cuadrante problemas de averiguar pero no es difícil.

Answer 5

Si usted tiene una ecuación de la forma $$ \cos f(x)=\sin g(x) $$ usted puede volver a escribir como $$ \cos f(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-g(x)\right) $$ y así $$ f(x)=\frac{\pi}{2}-g(x)+2k\pi \qquad\text{o}\qquad f(x)=-\frac{\pi}{2}+g(x)+2k\pi $$

En su caso particular, $f(x)=g(x)=x$, por lo que tiene $$ x=\frac{\pi}{2}-x+2k\pi \qquad\text{o}\qquad x=-\frac{\pi}{2}+x+2k\pi $$ Por supuesto, la segunda posibilidad no da ninguna solución; el primer caso da $$ x=\frac{\pi}{4}+k\pi $$

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Si su función es $$ f(x)=\frac{\tan x}{(1+\tan x)^2} $$ la derivada es \begin{align} f'(x) &=\frac{(1+\tan^2x)(1+\tan x)^2-2(1+\tan x)(1+\tan^2x)\tan x} {(1+\tan x)^4} \\[6px] &=\frac{(1+\tan^2x)(1-\tan x)}{(1+\tan x)^3} \end{align} por lo que se desvanece para $\tan x=1$.