Un estudiante mío fue dado recientemente a la siguiente pregunta:
"Al menos uno de nosotros es mentira", dijo Andrew.
"Sólo uno de nosotros es mentira", dijo Bertas.
"Squeak, dos de nosotros están mintiendo", dijo la Ardilla.
"Tres o cuatro de nosotros nos están mintiendo", dijo Daisy.
"Elmo piensa que todo el mundo es la mentira", dijo Elmo.
Cómo muchos mentirosos hay en total?
Podemos repetir esto en un lenguaje que es más fácil de analizar de la siguiente manera:
Andrew: el número de truthspeakers es un elemento de $\{0,1,2,3,4\}.$
Bertas: el número de truthspeakers es un elemento de $\{4\}.$
Ardilla: el número de truthspeakers es un elemento de $\{3\}.$
Daisy: el número de truthspeakers es un elemento de $\{1,2\}.$
Elmo: el número de truthspeakers es un elemento de $\{0\}.$
Con un poco de pensamiento, vemos que la respuesta es "$2$ truthspeakers."
- No puede ser $0$, porque entonces Andrés y Elmo sería truthspeakers.
- No puede ser $1$, porque entonces tanto Andrés y Margarita sería truthspeakers.
- Se puede ser $2$, con Andrew y Daisy ser el único truthspeakers.
- No puede ser $3$ o más, debido a la intersección de tres conjuntos distintos de arriba es vacío.
De todos modos, pensé que la pregunta era bastante buena, lo suficiente como para que traté de tirar algunos abstracto sinsentido. He aquí lo que se me ocurrió.
Definición de 0. Considere la posibilidad de una categoría concreta sobre $\mathbf{Set}.$ Permite que se refieren a sus objetos como álgebras, y supongamos que hay un libre álgebra en cada serie. Escribir $U$ para el conjunto subyacente functor, $F$ para el libre functor, y $\Phi$ por la contigüidad $F \dashv U$.
Dado
- un conjunto $S$ equipada con una función de $f : S \rightarrow UFS$
- un álgebra $X$,
una realización de $f$ $X$ es una función de $g : S \rightarrow UX$ tal que $g=U(\Phi_{S,X}(g)) \circ f$
Por ejemplo:
- Trabajo sobre el concreto de la categoría de álgebras Booleanas; así, en particular, $F$ es el álgebra de boole functor.
- Definir $S = \{A,B,C,D,E\}$.
- Definir $f : S \rightarrow UFS$, de forma que se expresa a quien el truthspeakers se conjetura que es:
Por ejemplo: $$f(A) = \neg(\neg A \wedge \neg B \wedge \neg C \wedge \neg D \wedge \neg E), \qquad f(E) = \bot$$
Entonces la única realización de $f$ en el álgebra de boole $\{0,1\}$ $$g : A,D \mapsto 1, \qquad g : B,C,E \mapsto 0.$$
He aquí una más simple ejemplo:
La paradoja del mentiroso. La función de $f : \{x\} \rightarrow F(\{x\})$ $x \mapsto \neg x$ no tiene realizaciones en $\{0,1\}$.
Lo que me gustaría saber es:
Pregunta. ¿Este tren de pensamiento llevar a cualquier interesantes de la matemática?
