14 votos

¿Cuál es la dimensión de la $M/G$ si se trata de un colector?

Deje $G$ ser una Mentira grupo funciona sin problemas y libremente sobre una superficie suave colector $M$. Si la acción es correcta, entonces sabemos que $M/G$ es un buen colector de dimensión $$\dim (M/G)=\dim M-\dim G.$$ (Ver, por ejemplo, Lee, Introducción a la Suave Colectores, Teorema 21.10.)

Ahora supongamos que $G$ no necesariamente actuar correctamente en $M$ (pero aún sin problemas y libre), y sabemos que $M/G$ es un topológica del colector. Es la dimensión necesariamente igual a $\dim M-\dim G$?

2voto

Sí. Esto puede verse fácilmente como sigue: vaya a $m\in M$, luego los mapas $$*\stackrel{e}{\longrightarrow}G\xrightarrow{g\mapsto g\cdot m}M\xrightarrow{\text{quotient}}M/G\longrightarrow*$$ inducir a una corta secuencia exacta de los espacios vectoriales de las tangentes: $$0\longrightarrow\mathfrak{g}\longrightarrow T_mM\longrightarrow T_{[m]}(M/G)\longrightarrow0,$$ donde $\mathfrak{g} = T_eG$ es la Mentira de álgebra de $G$. Como la dimensión de un colector es igual a la dimensión de su espacio de la tangente, podemos conseguir lo que quieres. Aviso que esto es independiente del propio de la acción (siempre que el cociente es un colector).

(Ejercicio: Comprobar los detalles.)

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X