Cómo puedo probar $\lim_{n \rightarrow \infty} \left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^n = e$ a partir de aquí?

Question

Me las he arreglado para construir el siguiente obligado para $e$, el cual es definido como el único número positivo tal que $\int_1^e \frac{dx}x = 1$.

$$\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n \leq e \leq \left (\frac{n}{n-1} \right )^n$$

A partir de aquí, debe de ser sin duda una manera de deducir el conocido igualdad

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^n = e$$

He llegado a la siguiente, pero no estoy absolutamente seguro de si esto es correcto o no.

SOLUCIÓN PROPUESTA:

El límite inferior está bien como está, así que vamos a dejarlo solo. Tenga en cuenta que

$$\begin{align*} \left ( \frac{n}{n-1} \right )^n &= \left ( 1+\frac{1}{n-1} \right )^{n} \\ &= \left ( 1+\frac{1}{n-1} \right )^{n-1} \left ( 1+\frac{1}{n-1} \right ) \end{align*}$$

Así que, usando el hecho de que el límite distribuye más de multiplicación, tenemos

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \frac{n}{n-1} \right )^n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{1}{n-1} \right )^{n-1} \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{1}{n-1} \right ) $$

Desde $$\lim_{n \rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{1}{n-1} \right ) = 1 $$

y

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{1}{n-1} \right )^{n-1} = \lim_{m \rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^m = e $$

Luego tenemos el resultado requerido

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^n = e$$

Answer 1

La prueba como se indica es circular, pero es fácil de arreglar, más o menos acaba de reformular las cosas.

Problema: Cuando dices "Ya ... $\lim\left(1+\frac1m\right)^m=e$... tenemos el resultado necesario" que sin duda parecen estar asumiendo lo que usted está tratando de demostrar.

Revisión: La desigualdad original muestra que $$e\ge\limsup\left(1+\frac1n\right)^n.$$Your manipulations with the original upper bound show that $$e\le\liminf\left(1+\frac1n\right)^n,$$and these two inequalities show that the limit in question exists and equals $e$.

Answer 2

David C. Ullrich ya ha dado una respuesta perfecta utilizando la táctica del dispositivo de $\limsup, \liminf$, que ayuda mucho cuando la existencia de límite no es conocido de antemano.

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Sin embargo, dado que usted ha utilizado la definición de integral para $e$ es mejor utilizar las propiedades de las integrales para probar su reclamación. Así que vamos a $$f(x) = \int_{1}^{x}\frac{dt}{t}\tag{1}$$ for $x > 0$. The integral above does not exist if $x \leq 0$. And the definition of $e$ is given by $f(e) = 1$. Tenemos \begin{align} f(xy) &= \int_{1}^{xy}\frac{dt}{t}\notag\\ &= \int_{1}^{x}\frac{dt}{t} + \int_{x}^{xy}\frac{dt}{t}\notag\\ &= f(x) + \int_{1}^{y}\frac{d(vx)}{vx}\text{ (putting }t = vx)\notag\\ &= f(x) + \int_{1}^{y}\frac{dv}{v}\notag\\ &= f(x) + f(y)\notag \end{align} Usando la propiedad repetidas veces vemos que $f(x^{n}) = nf(x)$ por entero positivo $n$$x > 0$. Por lo tanto, si $a_{n} = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n}$ $$f(a_{n}) = nf\left(1 + \frac{1}{n}\right)\tag{2}$$ We will show that that the RHS of the above equation tends to $1$ y por lo tanto LHS también hace lo mismo.

Si $1 < t < 1 + 1/n$ $$\frac{n}{n + 1} < \frac{1}{t} < 1$$ and upon integrating this inequality on interval $[1, 1 + 1/n]$ we get $$\frac{1}{n + 1} < f\left(1 + \frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}$$ or $$\frac{n}{n + 1} < nf\left(1 + \frac{1}{n}\right) < 1$$ and by Squeeze theorem we now see that $$\lim_{n \to \infty}nf\left(1 + \frac{1}{n}\right) = 1$$ and therefore from $(2)$ we get $$\lim_{n \to \infty}f(a_{n}) = 1 = f(e)\tag{3}$$ Now a quick but incorrect route to the answer is to use the continuity of $f$ to replace $\lim f(a_{n})$ by $f(\lim a_{n})$ to get $f(\lim a_{n}) = f(e)$ and then use one-one property of $f$ to get $\lim a_{n} = e$. But the problem with this approach is that we don't know whether limit of $a_{n}$ existe o no (por CIERTO la existencia de este límite es la rutina demostrado en numerosos análisis/cálculo libros de texto, pero no usamos ese enfoque aquí).

En lugar de eso nos tenga en cuenta que $f(x)$ es diferenciable para $x > 0$ con un positivo derivado y, por tanto, no existe un único inverso $g$ $f$ que es también diferenciable con positivos derivados. El dominio y rango de $g$ coincide con el rango de dominio de $f$ y puede ser demostrado que el $f$ mapas de $\mathbb{R}^{+}$$\mathbb{R}$, de modo que el inverso $g$ mapas de $\mathbb{R}$$\mathbb{R}^{+}$. La aplicación de $g$ en la ecuación de $(3)$ tenemos $$g(\lim_{n \to \infty}f(a_{n})) = g(f(e)) = e$$ and by continuity of $g$ we get $$\lim_{n \to \infty}g(f(a_{n})) = e$$ or $$\lim_{n \to \infty}a_{n} = e$$ lo que nos proponemos demostrar.

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Debería ser obvio para muchos de los lectores que las funciones $f, g$ $\log$ $\exp$ respectivamente, pero es mejor utilizar los símbolos $f, g$ a fin de evitar el uso de propiedades ya conocidas de $\log, \exp$. Esto es una gran ayuda en evitar circular pruebas.

Answer 3

Supongamos que $$ 1=\int_1^x\frac{\mathrm{d}u}u\etiqueta{1} $$ Mediante el cambio de variables $u\mapsto u^n$, obtenemos $$ 1=n\int_1^{x^{1/n}}\frac{\mathrm{d}u}u\etiqueta{2} $$ Dividiendo por $n$ y la estimación de la integral utilizando el ancho del intervalo y los extremos de $u$: $$ 1-x^{-1/n}\le\frac1n\le x^{1/n}-1\etiqueta{3} $$ o, equivalentemente, $$ \left(1+\frac1n\right)^n\le x\le\left(1+\frac1{n-1}\right)^n\etiqueta{4} $$ Desde $x$ no depende de la $n$, también tenemos $$ \left(1+\frac1n\right)^n\le x\le\left(1+\frac1n\right)^{n+1}\etiqueta{5} $$ En esta respuesta, se muestra que el lado izquierdo de $(5)$ es un aumento de la secuencia y el lado derecho de la $(5)$ es una disminución de la secuencia. Ya que la relación de la derecha encima de la izquierda es $1+\frac1n$, el lado izquierdo de $(5)$ aumenta a $x$ y el lado derecho de la $(5)$ disminuye a $x$. Por lo tanto, $$ x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n\etiqueta{6} $$

Answer 4

Deje $a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$. Tenemos que demostrar primero que $\lim_{n\to \infty}a_n$ existe realmente.

A partir de la OP, vemos que $a_n$ está acotada arriba por el número de $e$, el cual es definido como:$1=\int_1^e \frac1t\,dt$. Y en ESTA RESPUESTA, me mostró el uso de la Desigualdad de Bernoulli que $a_n$ es monótonamente creciente. En cuanto a $a_n$ es monótona creciente y acotada arriba, a continuación, $\lim_{n\to \infty}a_n$ sí existe.

A continuación, vemos a partir de las OP que

$$a_n\le e\le a_{n-1}\left(1+\frac1{n-1}\right) \tag 1$$

Ya hemos establecido la convergencia de $a_n$, simplemente aplicando el teorema del encaje a $(1)$ se obtiene el codiciado igualdad

$$\lim_{n\to \infty}a_n=e$$

Y hemos terminado!

Tenga en cuenta que se utilizó $\lim_{n\to \infty}a_{n-1}=\lim_{n\to \infty}a_n$ a lo largo de con $\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)=1$ en el lado derecho de la $(1)$ al aplicar el teorema del sándwich.

Answer 5

hay 2 errores: 1)si usted sabe $\lim_{n \to \infty} a_n, \lim_{n \to \infty} b_n$ existen, entonces usted sabe que $\lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} a_n\cdot b_n$ existe la otra ronda es falso!

2) Usted no puede usar el requisito de $\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^m$ en su prueba (lógico error).

Intente lugar logaritmo natural por encima de su desigualdad y que se puede tirar el limes de todas continua de las funciones de $f$ f.e.$$ \lim_{n \to \infty} f(a_n) = f(\lim_{n \to \infty} a_n)$$

Para más consejos, respuesta^^