Ayuda para demostrar que el producto de cuatro enteros consecutivos cualquiera es uno menos que un cuadrado perfecto

Question

Aparentemente, esta afirmación es cierta, pero no puedo averiguar cómo probarlo. He intentado establecer

$$(m)(m + 1)(m + 2)(m + 3) = (m + 4)^2 - 1 $$

pero en vano. ¿Podría alguien indicarme la dirección correcta?

Answer 1

\begin{align} m(m+1)(m+2)(m+3)&=\left[(m)(m+3) \right] \left[ (m+1)(m+2)\right]\\ &=\left[m^2+3m \right] \left[ m^2+3m+2\right]\\ &=\left[(m^2+3m+1)-1 \right] \left[ (m^2+3m+1)+1\right]\\ &=(m^2+3m+1)^2-1 \end{align}

Answer 2

Si tienes problemas para acercarte a esto, prueba con algunos ejemplos: Observa que (por ejemplo)

$$ 1 \times \color{red}{2 \times 3} \times 4 = 24 = 5^2-1 $$

$$ 2 \times \color{red}{3 \times 4} \times 5 = 120 = 11^2-1 $$

$$ 3 \times \color{red}{4 \times 5} \times 6 = 360 = 19^2-1 $$

y observar que

$$ 5 = \color{red}{2 \times 3} - 1 $$

$$ 11 = \color{red}{3 \times 4} - 1 $$

$$ 19 = \color{red}{4 \times 5} - 1 $$

Por lo tanto, intente ver si

$$ m\color{red}{(m+1)(m+2)}(m+3) = [\color{red}{(m+1)(m+2)}-1]^2-1 $$

Answer 3

Se puede tomar el producto de los cuatro enteros consecutivos como $$(m-1)m(m+1)(m+2)$$

Añadiendo $1$ y simplificando, obtenemos $$m^4+2m^3-m^2-2m+1$$ $$=m^4+m^2+1+2m^3-2m^2-2m$$ $$=(m^2+m-1)^2$$

Answer 4

Introducción: se trata de tomar el gcd de un polinomio y su derivada, para detectar un factor repetido. En este caso, el factor repetido simplemente se eleva al cuadrado para dar el original, así que este es uno de los tipos más simples. Para esta respuesta de ayer, ¿Cómo se puede encontrar la factorización $a^4 + 2a^3 + 3a^2 + 2a + 1 = (a^2 + a + 1)^2$ ¿desde cero? Me inventé deliberadamente una situación más complicada. En esa, en realidad era el cubo de algo.

$$ f = m^4 + 6 m^3 + 11 m^2 + 6 m + 1 $$ $$ f' = 4 m^3 + 18 m^2 + 22 m + 6 $$ $$ f'/2 = 2 m^3 + 9 m^2 + 11 m + 3 $$ $$ 2 f - m (2 m^3 + 9 m^2 + 11 m + 3) = 3 m^3 + 11 m^2 + 9 m + 2 $$ $$ 3(2 m^3 + 9 m^2 + 11 m + 3) - 2 (3 m^3 + 11 m^2 + 9 m + 2) = 5 m^2 + 15 m + 5. $$ Con $$ 5 m^2 + 15 m + 5 = 5 (m^2 + 3m + 1) $$ queremos $$ \gcd_{\mathbb Q}(2 m^3 + 9 m^2 + 11 m + 3,m^2 + 3m + 1 ). $$ Sin embargo,, $$ 2 m^3 + 9 m^2 + 11 m + 3 = (2m+3)(m^2 + 3m + 1) $$ por lo que el GCD es $m^2 + 3m + 1$ mismo. Esto debe ser un factor de repetición del original $f,$ y lo comprobamos, de hecho, $f = (m^2 + 3m+1)^2$

Answer 5

Puedes resolver esto sin pensarlo mucho.

Ampliando el producto, encontramos $m(m+1)(m+2)(m+3) = m^4 + 6m^3 + 11m^2 + 6m$ . Eso es un poco más grande que $(m^2)^2 = m^4$ . $(m^2+c)^2 = (m^4 + 2m^2c + c^2)$ sigue siendo demasiado pequeño porque no hay ningún término $m^3$ . $(m^2+cm)^2 = m^4 + 2cm^3+c^2m^2$ se ve mejor, especialmente si dejamos que c = 3.

$(m^2+3m)^2 = m^4 + 6m^3 + 9m^2$ es todavía un poco pequeña, por cerca de $2m^2$ . Así que añadimos otra c: $(m^2+3m+c)^2 = m^4 + 6m^3 + 2cm^2 + 9m^2 + 6cm + c^2$ . Dejamos que c = 1 para que coincida con el término $11m^2$ y obtener $(m^2+3m+1)^2 = m^4 + 6m^3 + 11m^2 + 6m + 1$ . Exactamente 1 más que el producto, justo lo que queríamos. Así que

$m(m+1)(m+2)(m+3) = (m^2+3m+1)^2 - 1$ .

Esa es la respuesta, sin pensarlo mucho.