Es esta función necesariamente un polinomio?

Question

Dada una función con dos características:

$$f'(x_0)=f''(x_0)= \cdots =f^{(k-1)}(x_0)=0$$

y

$$f^{(k)}(x_0)\ne0$$

para algunos $k\ge2$

Hace esta función tiene que ser necesariamente un polinomio? ¿Por qué / por qué no?

Answer 1

Considere la posibilidad de $f(x) = e^x(x-x_0)^k$.

Answer 2

Para $$f(x) = \sin x^3$$ usted tiene $$\begin{align} f(0) & = 0 \\ f'(0) & = 0 \\ f''(0) & = 0 \\ f'''(0) &= \color{red}6 \end{align}$$

Answer 3

Con $x=x_0$ por simplicidad,

$$ f(x) = e^x - \sum_{n=0}^{k-1} \frac{x^n}{n!} $$

$e^x$ no es especial; la misma idea funciona para cualquier $k$-veces derivable la función cuyas $k$-ésima derivada no se anula.

Trabaja con funciones cuyas $k$-ésima derivada hace desaparecer demasiado; por ejemplo, para añadir en un $x^k$ plazo.

Answer 4

Por qué ?

Con las restricciones dadas, cualquier función con un convergentes Taylor desarrollo

$$f(x):=\sum_{j=k}^\infty\frac{a_k(x-x_0)^k}{k!}$$

pueden hacer. Estas funciones son "polinomios de grado infinito", que les permite no ser ordinarias polinomios.

Otro camino para la construcción de una es tomando sucesivas antiderivatives de una función arbitraria $g(x)$ tal que $g(x_0)\ne0$,

$$\int_{x_0}^x\int_{x_0}^x\cdots\int_{x_0}^x g(x)\,dx\,dx\cdots\,dx.$$

Una función constante, de hecho va a generar un polinomio, pero no un polinomio de la función de generar otra que no sea de la función polinomial, porque sólo los polinomios tienen el polinomio de derivados.