¿Es posible que una ecuación cuadrática tenga una raíz racional y otra irracional?

Question

¿Es posible que una ecuación cuadrática tenga una raíz racional y otra irracional?

Sí, una pregunta bastante sencilla. ¿Es posible?

Answer 1

Sí; por ejemplo, la ecuación cuadrática $$x^2-\sqrt{2}x=0$$ tiene dos soluciones, a saber $x=0$ (que es racional) y $x=\sqrt{2}$ (que es irracional).

Sin embargo, si sólo permitimos coeficientes racionales para nuestra ecuación cuadrática, entonces es cierto que o bien ambas soluciones son racionales o bien ambas son irracionales. Dados los números racionales $a$ , $b$ y $c$ con $a\neq0$ la ecuación cuadrática nos dice que las soluciones de $ax^2+bx+c=0$ son $$x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\quad x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$ Si $\sqrt{b^2-4ac}$ es irracional, entonces ambos números son irracionales; si $\sqrt{b^2-4ac}$ es racional, entonces ambos números son racionales.

Esta propiedad es particular para cuadrático sólo ecuaciones. Por ejemplo, la ecuación cúbica $$x^3-2x=0$$ tiene las soluciones $x=0$ , $x=\sqrt{2}$ y $x=-\sqrt{2}$ El primero de ellos es racional y los dos últimos irracionales, aunque todos sus coeficientes sean a su vez números racionales. La explicación de esto es que un polinomio cuadrático sobre los números racionales debe ser factorizado completamente o ser irreducible, mientras que un polinomio de grado superior puede ser factorizado parcialmente . Por ejemplo, la factorización de $x^3-2x$ en polinomios racionales irreducibles es $$x^3-2x=(x-0)\cdot(x^2-2).$$

Answer 2

La ecuación $$ (x-a)(x-b)=0 $$ es una ecuación cuadrática cuyas raíces son $a$ y $b$ . Si $a$ es racional y $b$ es irracional entonces está el ejemplo que buscas.

Ampliando esto, se obtiene $$ x^2 - (a+b)x + ab=0. $$ El coeficiente $a+b$ no es racional. Tampoco lo es $ab$ a menos que $a=0$ .

Si los coeficientes son racionales, la fórmula habitual para resolver ecuaciones cuadráticas nos dice que o bien ambas raíces son racionales o bien ambas son irracionales.

Answer 3

De manera más general, dejemos que $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0,$$ donde $n \ge 1$ y $a_n\ne 0$ . Supongamos que al menos $n-1$ de las raíces (complejas) de la ecuación $P(x)=0$ son racionales. Entonces todas las raíces de $P(x)=0$ son racionales si y sólo si $\frac{a_{n-1}}{a_n}$ es racional. (Aquí una raíz múltiple se cuenta según su multiplicidad).

Esto se debe a que la suma de las raíces es $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ .

En particular, si los coeficientes son racionales y hay al menos $n-1$ raíces racionales, entonces todas las raíces son racionales.

Hay polinomios de grado $n$ con exactamente $n-1$ raíces racionales. Utilice por ejemplo $(x-1)(x-2)\cdots(x-(n-1))(x-\sqrt{2})$ . Dicho polinomio tiene necesariamente al menos un coeficiente irracional.

Answer 4

Consideremos la ecuación de la forma x(x-a)=0
Aquí una solución es 0 y la otra es a. Así que si a es irracional una raíz es racional y la otra es irracional.