La convergencia de $\sum_n \frac{|\sin(n^2)|}{n}$

Question

Un problema en Makarov los problemas Seleccionados de análisis real pide investigar la convergencia de $\displaystyle \sum_n \frac{|\sin(n^2)|}{n}$

Estoy despistado en el momento. Yo no puedo encontrar cualquier bien de propiedad de la secuencia de $|\sin(n^2)|$.

$|\sin(n^2)|$ son de pequeño siempre $n\sim \sqrt{p\pi}$, y, como $p\to \infty$, $\sqrt{p\pi}$ acercarse uno al otro desde $\sqrt{(p+1)\pi}-\sqrt{p\pi}\sim \frac 12 \sqrt{\frac{\pi}{p}}$.

Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

Weyl del teorema de equidistribución, ver, por ejemplo, Weyl-Tao, el Corolario 6 implica que $n^2$ es asintóticamente equidistributed mod $2\pi$. Así como $N\rightarrow +\infty$: $$ M_N=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N |\sin(n^2)| \rightarrow \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |\sin(t)|dt=\frac{2}{\pi}$$ Ahora, encontrar una secuencia $N_k$, $k\geq 1$, de modo que $10N_k\leq N_{k+1}$$M_{N_k}\geq \frac{1}{\pi}$. A continuación, para cada $k\geq 1$ $$ \sum_{n=N_k+1}^{N_{k+1}} \frac{|\sin n^2|}{n} \geq \frac{1}{N_{k+1}}\sum_{n=N_k+1}^{N_{k+1}} |\sin n^2| \geq M_{N_{k+1}} - \frac{N_k}{N_{k+1}} \geq \frac{1}{\pi}-\frac{1}{10}>0$$ Suma más de $k$ llegamos a la conclusión de que la divergencia de $\sum_{n\geq 1} |\sin(n^2)|/n$

Se puede observar que el resultado (así como la prueba) cuando pasa a través de la sustitución de $n^2$ por cualquier polinomio en $n$, $p(n)=a_d n^d+\cdots +a_0$ mientras el líder del coeficiente de $a_d$ racionalmente es independiente de $\pi$.

Answer 2

La serie diverge. La deficiencia de este razonamiento es que $|\sin(n^2)|$ es de aproximadamente un valor aleatorio entre $0$$1$, con un promedio mayor o igual a $0.1$ $\sum_n \frac{0.1}{n}$ sin duda diverge.

Para hacer esto más riguroso, como @H. H. Rugh señala en su solución, como $n \to \infty$, $n^2$ es equidistributed mod $\pi$ (usando el Corolario 6 a partir de aquí). Así

$$|\sin(n^2)| > \frac{1}{2} \ \text{ whenever }\ n^2 \text{ mod }\pi \in \left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)$$

que sucede de dos terceras partes del tiempo (asintóticamente). Por lo tanto, lo suficientemente grande como para $N \in \mathbb{Z}$,

$$\sum_{n=N+1}^{2N} \frac{|\sin(n^2)|}{n}> \frac{1}{2N} \sum_{n=N+1}^{2N} |\sin(n^2)| > \frac{1}{2N} \frac{N}{2} \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$

desde $|\sin(n^2)| > \frac{1}{2}$ para más de la mitad de la $n$ $\{N+1,...,2N\}$

Por lo tanto, la serie diverge desde la cola de la serie diverge:

$$\sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{|\sin(n^2)|}{n} = \sum_{k=0}^\infty \left(\sum_{n=2^k N+1}^{2^{k+1}N} \frac{|\sin(n^2)|}{n} \right)> \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{8} = \infty$$