La intuición en un inesperado espacio de dimensión finita

Question

Hemos tenido este ejercicio que utiliza Riesz' lema para demostrar que un espacio funcional, en realidad tiene una dimensión finita. Yo estaba curioso de saber lo que este espacio se "ve" como, si podemos encontrar elementos naturales que generaría. Aquí están los supuestos:

• $E = \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}) $ es el espacio de funciones continuas en $[0, 1]$, dotado de la norma $ ||f||_\infty = \sup\{|f(t)|, t \in [0, 1] \} $.
• Hemos cerrado lineal subespacio $F$ $E$ tal que $F \subset \mathcal{C}^1([0,1], \mathbb{R})$ (el espacio de forma continua funciones diferenciables con continuos derivados) y $$ \exists C > 0, \forall f \in F, \; ||f'||_\infty \leq C \, ||f||_\infty $$

Usted puede demostrar que la unidad de la bola de que el espacio es compacto para $ ||\cdot||_\infty$ (con Ascoli), por lo tanto, por Riesz' lema el espacio tiene una dimensión finita (!)

Si sigo la conclusión es, entonces, me imagino que usted podría construir una finito de la familia de funciones que generan todo el espacio. Es eso cierto? ¿Qué sería de estas funciones? Son útiles en otro lugar? Son conocidos?

Answer 1

Tal vez sorprendente, pero de hecho, es posible obtener una explícita obligado para la dimensión de $F$ (matemáticas magia en el trabajo). Esto es un poco como un constructiva prueba del teorema de Riesz.

Construimos de forma recursiva los subespacios de $F$: Vamos a $f_1\in F$ $x_1\in [0,1]$ ser tal que $f_1(x_1)=1=\|f_1\|_\infty$ y definir $$ F_1 = \{ f\in F : f(x_1)=0 \}$$ Si $F_1$ no es trivial encontrar $f_2\in F_1$ $x_2\in [0,1]$ (necesariamente diferente de $x_1$) tal que $f_2(x_2)=1=\|f_2\|_\infty$. A continuación, establezca $$ F_2=\{f\in F: f(x_1)=f(x_2)=0\}$$ Proceder inductivamente como usted puede. Si, finalmente, $F_{d+1}=\{0\}$ su espacio es de dimensión $d$. Ahora cada una de las $f_k$ se desvanece en $x_i$, $i<k$ y $f_k(x_k)=1=\|f_k\|_\infty$, y en el MVT debemos tener $$ C\geq \|f_k'\|_\infty \geq \max \{ \frac{1}{|x_k-x_i|} : 1\leq i<k\}$$ Por lo tanto, $$ |x_k-x_i| \geq 1/C$$ for all $1\leq i<k \leq d$. This implies $d\leq C+1$.

Answer 2

Yo tenía esto en los comentarios anteriores, pero cuando fui a agregar un ejemplo, me pareció demasiado frustrante para editar en el cuadro de comentario.

Supongamos que $C = 1$. Por lo tanto la condición de interés sobre un subespacio $F$: $\|f'\| \leq \|f\|$ todos los $f \in F$.

Desde $(e^x)'=e^x$ $(e^{-x})' = -e^{-x}$ es fácil ver que las líneas de $L_1 = \mathbb{R} \cdot e^x$ $L_2 = \mathbb{R} \cdot e^{-x}$ ambos satisfacen la condición. Sin embargo, no puede ser un subespacio $F$ la satisfacción de la propiedad, el cual contiene tanto $L_1$$L_2$. Un espacio de $F$ tendría que contener $f = e^{x} - e^{-x}$, pero uno puede comprobar que $\|f'\| > \|f\|$, así que esto es imposible.

La conclusión de lo anterior es que, para un determinado $C$, no es sólo un ejemplo de un subespacio $F$, pero muchos. Por otra parte, no hay uno más grande. Dicho esto, sería interesante preguntar si hay un número finito de obligado en las dimensiones de los espacios de la satisfacción de la propiedad para determinado $C$, y, a continuación, busque ejemplos de realización de la máxima dimensión.