¿Se suponen o demuestran las propiedades de la unidad imaginaria?

Question

La lectura de los valores cíclicos devueltos por las potencias integrales de $i$ : $$\begin{align*} i^0&=\hphantom{-}1\\ i^1&=\hphantom{-}i\\ i^2&=-1\\ i^3&=-i\\ & \,\,\,\vdots \end{align*}$$

y el patrón continúa. Ahora, una simple pregunta surgió en mi mente: $i^2 = -1\implies i\notin\mathbb{R}$ . Entonces, ¿cómo hemos llegado a la conclusión de que: $$i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i$$ porque $i$ no tiene necesariamente las propiedades de los reales. ¿Es esto sólo una suposición para la construcción de los números complejos, o hay una prueba?

Answer 1

Efectivamente, tiene una prueba. Pero esto implica volver a ver exactamente cómo son los números complejos definido en primer lugar.

Digamos por el momento que estamos contentos con los números reales y sus propiedades. (Por supuesto, hay una pregunta aparte: "¿cómo construimos los reales?" - pero dejémosla de lado por ahora). Ahora hay varias maneras de definir rigurosamente los números complejos. Esta es probablemente la más sencilla (aunque no la más útil): dejamos que $\mathbb{C}$ sea el conjunto de pares ordenados $(a, b)$ donde $a, b\in\mathbb{R}$ y definimos las operaciones $+$ y $\times$ en $\mathbb{C}$ de la siguiente manera ( intuitivamente, el par $(a, b)$ representa el número $a+bi$ ):

• $(a, b)+(c, d)=(a+b, c+d)$ .

• $(a, b)\times (c, d)=(a\times c-b\times d, a\times d+b\times c)$ .

Nótese que en el lado derecho de cada una de esas expresiones, estoy utilizando la noción de $+$ y $\times$ (y $-$ ) para números reales . Podría decirse que una mejor manera de escribir esto sería

• $(a, b)+_\mathbb{C}(c, d)=(a+_\mathbb{R}b, c+_\mathbb{R}d)$ .

• $(a, b)\times_\mathbb{C} (c, d)=(a\times_\mathbb{R} c-_\mathbb{R}b\times_\mathbb{R} d, a\times_\mathbb{R} d+_\mathbb{R}b\times_\mathbb{R} c)$ .

Es decir, ya he definido las operaciones $+_\mathbb{R}, \times_\mathbb{R}, -_\mathbb{R}$ para los reales, y ahora estoy definiendo nuevas operaciones $+_\mathbb{C}, \times_\mathbb{C}$ para los números complejos. En general, siempre estará claro por el contexto a qué se refiere; pero es un buen hábito cuando se aprende este material para empezar a aclarar las cosas con subíndices siempre que estemos usando ambos tipos de operación.

Podemos utilizar esta definición explícita para verificar afirmaciones básicas sobre los números complejos. Por ejemplo,

• Compruebe que $(0, 1)\times(0, 1)=(-1, 0)$ y que $(0, 1)$ y $(0, -1)$ son los únicos números complejos con esta propiedad. Llamamos a los primeros " $i$ "(pero en realidad no importa cuál elijamos).

• Ahora, podemos calcular $(0, 1)^3=(0, 1)\times (0, 1)\times (0, 1)=(0, -1)$ . Esto demuestra que efectivamente $i^3=-i$ .

¿Qué pasa con las reclamaciones más generales? Por ejemplo, he utilizado implícitamente la asociatividad de $\times$ arriba, al escribir $(0, 1)^3$ . También podemos utilizar la definición de $\mathbb{C}$ para demostrar que $\times$ es asociativo, y más generalmente que $\mathbb{C}$ es un campo ). Esto se vuelve un poco complicado; permítanme dar como ejemplo la prueba de que la suma de números complejos es conmutativo que es más simple:

$$(a, b)+_\mathbb{C}(c, d)=(a+_\mathbb{R}c, b+_\mathbb{R}d)=(c+_\mathbb{R}a, d+_\mathbb{R}b)=(c, d)+_\mathbb{C}(a, b).$$

Obsérvese cómo utilizamos (en el segundo " $=$ ") la conmutatividad de $+_\mathbb{R}$ Estamos edificio en hechos que ya conocemos sobre los reales, para demostrar hechos sobre los números complejos, y esto se justifica por cómo los números complejos son construido a partir de los reales.

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EDIT: Sólo para atar un cabo suelto, ¿a qué me refería más arriba cuando decía que ésta no era la forma "más útil" de construir los números complejos?

Pues bien, resulta que hay un enfoque mucho más abstracto que podemos utilizar, que -aunque es mucho más difícil al principio- resulta finalmente mucho más útil desde el punto de vista matemático. El punto clave es notar que esencialmente todo el punto de los números complejos es resolver una sola ecuación, $x^2=-1$ . En cierto sentido, son lo que se obtiene cuando se empieza con los reales y se "rellena" el hueco que deja esa ecuación.

Esto sugiere que debemos buscar alguna herramienta para hacer lo siguiente: si $\mathbb{S}$ es algún sistema numérico (reales, complejos, enteros, racionales, cuaterniones, sedeniones hiperbólicos, o cosas que acabo de hacer) y $E$ es alguna ecuación en $\mathbb{S}$ debería haber una manera de construir una cosa como $\mathbb{S}$ pero que también puede resolver $E$ . Esto es realmente muy vago, pero en última instancia conduce a un montón de ideas en el álgebra abstracta; por ejemplo, extensiones algebraicas de los campos. En este contexto, hay un sentido preciso en el que los números complejos son el sistema numérico "más pequeño" que contiene los reales donde $x^2=-1$ tiene una solución, y la notación pertinente es $\mathbb{R}[x]/\langle x^2+1\rangle$ - que probablemente sea un galimatías ahora mismo, pero más adelante verás cómo ver esto como una "receta" para construir los números complejos a partir de los números reales.

Answer 2

Aunque son respuestas excelentes, creo que la respuesta es aún más sencilla.

$b^{m}b^{n} = b^{m+n}$ no es una "regla de números reales" sino una "regla de operaciones binarias asociativas".

Si definimos/construimos/inventamos cualquier conjunto de elementos (pueden ser gotas de goma o piezas de ajedrez) y crear cualquier entre elementos to ( $a*b$ podría ser "fundir las dos gomitas y hacer una nueva" o "elegir siempre la segunda pieza de ajedrez; siempre") para que:

-- $a * b$ para dos elementos cualesquiera del conjunto dará como resultado $c$ también es un miembro del conjunto y el mismo $a,b$ combinados siempre dará como resultado el mismo miembro $c$ (El término para esto es $*$ es una "operación binaria".

-Si evaluamos $a*b*c*d$ no importa cómo los agrupemos. $(a*(b*c))*d$ (donde primero hacemos $b*c= e$ y luego hacemos $a*e = f$ y luego hacemos $f*d = g$ ) dará el mismo resultado que $(a*b)*(c*d)$ (donde hacemos $a*b$ y obtener $h$ y luego hacemos $c*d$ y obtener $i$ y luego hacemos $h*i$ y conseguir, sorprendentemente, $g$ ). O más sencillamente $(a*b)*c = a*(b*c)$ . (una operación de este tipo se llama "asociativa". Un ejemplo de algo que no es asociativo es $(2^3)^2 \ne 2^{(3^2)}$ .)

Entonces, si definimos como notación (es sólo una notación) que si $n\in \mathbb N$ que $a^n := a*a*a*....*a$ donde a es operado $n$ tiempos.

Si creamos un sistema de este tipo, (ya sean gomitas, piezas de ajedrez o números), entonces siempre tener:

$b^mb^n = (b*.....*b)*(b*.....*b) = (b*....................*b) = b^{m+n}$ .

Siempre.

Así que esto es cierto para los números complejos. (Suponiendo que hayamos definido lo que $c*d$ medios y que $c*(d*e) = (c*d)*e$ ).

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Para ser perversos, hagamos esto con piezas de ajedrez. Y definamos $a*b = b$ . Entonces $(knight*pawn)*bishop = pawn*bishop = bishop$ que es igual a $knight*(pawn*bishop) = knight*bishop = bishop$ .

Entonces $pawn^2*pawn = (pawn*pawn)*pawn=pawn*pawn= pawn; pawn*pawn^2 = pawn*(pawn*pawn) = pawn*pawn = pawn; pawn^3 = pawn*pawn*pawn = pawn*pawn = pawn$ .

Así que $pawn^2pawn=pawn*pawn^2 = pawn^3$ .

Eso fue un poco aburrido.

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Para ir a la página de Noah Schweber excelente respuesta. Si $i = (0,1)$ y $(a,b)*(c,d)= (ac - bd, ad + bc)$ es la definición de los números complejos entonces:

-- sí, es binario. ( $(a,b)*(c,d)= (ac - bd, ad + bc)$ da como resultado un par de valores reales).

-- sí es asociativo. ( $(a,b)*[(c,d)*(e,f)] = (a,b)*(ce-df,cf+de)=(a(ce-df)-b(cf+de), b(ce-df) + a(cf+de))=(ace-adf-bcf-bde,bce-bdf+acf+ade)$ mientras ( $[(a,b)*(c,d)]*(e,f) = (ac - bd,bc+ad)*(e,f)=((ac-bd)e-(bc+ad)f,(bc+ad)e + f(bc+ad))=(ace-adf-bcf-bde,bce-bdf+acf+ade)$ así que $(a,b)*[(c,d)*(e,f)] = [(a,b)*(c,d)]*(e,f)$ .

Entonces

$(a,b)^3 = (a,b)(a,b)(a,b)=(a^2 - b^2,2ab)(a,b) = (a^3 - 3ab^2,3a^b-b^3)$

$(a,b)^2(a,b) = [(a,b)(a,b)](a,b)=(a^2 - b^2,2ab)(a,b) = (a^3 - 3ab^2,3a^b-b^3)$

$(a,b)(a,b)^2 = (a,b)(a^2 - b^2,2ab)=(a^3 - 3ab^2,3a^b-b^3)$

todos iguales.

Answer 3

¿Se suponen o demuestran las propiedades de la unidad imaginaria?

Ambos. El enfoque intuitivo de suponiendo que una solución a una ecuación previamente irresoluble (como una $i$ resolver $i^2= -1$ ) que satisface otras propiedades algebraicas del sistema numérico, entró en uso en los años 1400-1700 y fue posteriormente probado para crear un sistema numérico consistente que funcione como se espera (como cualquier elemento del sistema con $i$ siendo únicamente expresable como $x+yi$ ).

Hoy en día la secuencia es similar: se supone que funciona en el instituto y se demuestra que funciona en la universidad.

Answer 4

Hay varias formas lógicamente rigurosas de demostrar que el conjunto de todos los números complejos es un campo Es decir, satisface ciertos axiomas sobre la suma, la resta, la multiplicación y la división, pero también hay otro punto de vista que vale la pena conocer:

• Multiplicación por cualquier número complejo $z = x+iy$ equivale a girar por el ángulo cuyo seno es $y/|z|$ y cuyo coseno es $x/|z|$ y luego se multiplica por el número real $|z|$ .
• En particular, al multiplicar por $i$ significa girar $90^\circ$ en sentido contrario a las agujas del reloj. Así, multiplicando por $i^3$ equivale a la rotacióng $270^\circ$ en sentido contrario a las agujas del reloj, lo que le da $-i$ .

Answer 5

Como usted señala, cualquier potencia integral de $i$ es $i$ o $-1$ o $-i$ o $1$ .

La "multiplicación" compleja se define por $(a,b).(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ donde $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ . También hay que tener en cuenta que el número complejo $(0,1)=0+i.1$ se define mediante la notación $i$ la unidad imaginaria.

Así que, $i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1$ y podemos demostrar de forma similar que $i^3=(0,-1)=-i$ .