17 votos

¿Cuáles son algunos sencillos pero hermosos diseños en el Triángulo de Pascal?

Triángulo de Pascal tiene una amplia gama de aplicaciones en Matemáticas.He visto que las aplicaciones más importantes se refieren a los coeficientes binomiales y la combinatoria.

Hay algunos otros hermosos patrones interesantes en el triángulo de Pascal que se puede encontrar seleccionando algunos otros modos de combinación ?

24voto

BigbearZzz Puntos 1616

Cómo acerca de la secuencia de Fibonacci en el Triángulo de Pascal? enter image description here

Triángulo de Pascal (de Wolfram MathWorld)

20voto

Markus Scheuer Puntos 16133

Hay un bonito hexagonal de la propiedad en el triángulo de Pascal:

\begin{array}{ccccccccccccccccc} &&&&&&&&1\\ &&&&&&&1&&1\\ &&&&&&1&&2&&1\\ &&&&&1&&3&&3&&1\\ &&&&1&&4&&6&&4&&1\\ &&&1&&\mathbf{\color{blue}{5}}&&\mathbf{\color{blue}{10}}&&10&&5&&1\\ &&1&&\mathbf{\color{blue}{6}}&&\mathbf{\color{red}{15}}&&\mathbf{\color{blue}{20}}&&15&&6&&1\\ &1&&7&&\mathbf{\color{blue}{21}}&&\mathbf{\color{blue}{35}}&&35&&21&&7&&1\\ 1&&8&&28&&56&&70&&56&&21&&8&&1\\ \end{array} El hexágono alrededor de $\binom{n}{k}$ cumple \begin{align*} \binom{n-1}{k-1}\binom{n}{k+1}\binom{n+1}{k}&=\binom{n-1}{k}\binom{n}{k-1}\binom{n+1}{k+1}\\ \end{align*}

El ejemplo $\binom{n}{k}=\binom{6}{2}=\color{red}{15}$ muestra \begin{align*} \binom{n-1}{k-1}\binom{n}{k+1}\binom{n+1}{k}&=\binom{5}{1}\binom{6}{3}\binom{7}{2}=\color{blue}{5}\cdot \color{blue}{20}\cdot \color{blue}{21}=2100\\ \binom{n-1}{k}\binom{n}{k-1}\binom{n+1}{k+1}&=\binom{5}{2}\binom{6}{1}\binom{7}{3}=\color{blue}{10}\cdot \color{blue}{6}\cdot \color{blue}{35}=2100 \end{align*}

En otras palabras:

  • Un hexágono alrededor de un coeficiente binomial $\binom{n}{k}$ siempre es un cuadrado perfecto. :-)

Ver Generalizada oculto hexágono plazas por R. K. Gupta para una versión generalizada de esta relación.

12voto

DiGi Puntos 1925

Triángulo de Pascal reducido modulo $2$ es una versión discreta de la junta de Sierpiński; esta página es una muy breve introducción, y esta página en OEIS tiene una buena imagen y un poco más de información.

11voto

iadvd Puntos 2322

El que me gusta más, está asociado a un muy conocido primalidad de la prueba: El número de $n \gt 1$ en la segunda posición (derecha o izquierda) de una determinada línea de un triángulo es un número primo si y sólo si todos los elementos de la misma línea, excepto la primera y la última $1$'s, son divisibles por ella.

Por ejemplo:

$1,5,10,10,1$

$n=5$ $5 \mid 10$ , lo $5$ es un número primo.

En otro lado por ejemplo:

$1,4,6,4,1$

$n=4$ $4 \not\mid 6$ $4$ no es primo.

$1,6,15,20,15,6,1$

$n=6$ y $6 \not\mid 15$, $6 \not\mid 20$ por lo $6$ no es primo así.

Todos los elementos debe ser divisible por $n$, si uno falla, no es un número primo.

Para la realización de las $\pmod{n}$ operación, el patrón en el lado derecho muestra las filas de un primer $n$ como sigue:

enter image description here

8voto

bene Puntos 4294

He aquí una manera de extender el triángulo de Pascal; creo que es muy interesante.

En negro tenemos el original triángulo de Pascal. En verde tenemos las filas insertadas entre el negro filas. Para encontrar los valores, utilizamos los polinomios que describen el inclinada columnas del triángulo original, que se muestra en azul, y evaluar en la mitad de los números enteros. Pascal plus

¿Cuál es el punto de esto? Recuerde que los números en el triángulo de Pascal también se proporcionan los coeficientes binomiales.

Por ejemplo, $(1+x)^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4$.

Estas nuevas filas también se describen los coeficientes de la serie de binomios elevados a la mitad de la potencia entera: $(1+x)^\frac{7}{2}=1+\frac{7}{2}x+\frac{35}{8}x^2+\frac{35}{16}x^3+...$

A diferencia de las filas del triángulo de Pascal, estos continúan para siempre. También, como Pascal tringle, los números de color verde son la suma de los dos números verdes directamente encima. Por ejemplo, $\frac{15}{8}+\frac{5}{16}=\frac{35}{16}$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X