Dejemos que $$R(1) = 1-1,$$ $$R(2) = (1\times11) - (1+11),$$ $$R(3) = (1\times11\times111) - (1+11+111),$$ y así sucesivamente...
$$R(4)=1355297\quad\text{(a prime number!)}$$
$R(4)$ es el único primo que encontré de tal forma hasta $R(200)$ . ¿Hay más primos de esa forma?
Respuesta probabilística: Si $\phi_n\in {\Bbb N}$ es una secuencia de enteros "aleatorios" que van al infinito, entonces la probabilidad de $\phi_n$ siendo un primo es $\sim 1/\ln \phi_n$ . Cuando $\sum_{n\geq N} \frac{1}{\ln \phi_n}$ va a cero rápidamente con $N$ es muy "probable" que no haya primos entre estos números para $N$ grande. Las palabras "aleatorio" y "probable" están obviamente sujetas a interpretaciones.
Si otro primo de la forma $R(n)$ existe, entonces $n$ debe ser como mínimo $490$ y $R(n)$ debe tener más de $100,000$ dígitos.
Para los siguientes números $n\le 1000$ , $R(n)$ no tiene ningún factor primo "pequeño" :
$$[52, 490, 532, 574, 592, 922, 928, 964]$$
$R(1000)$ ya ha $499,546$ dígitos.
Es poco probable que haya otro primer $R(n)$ porque la secuencia crece muy rápido y la probabilidad de que un número con más de $10^5$ dígitos es primordial, es muy bajo. Por supuesto, esto no es una prueba.
Una prueba de que no hay otro primo debería estar fuera del alcance. La única posibilidad parece ser : Encontrar otro primo.
Sólo una observación muy básica, no una respuesta completa. Observemos por $$a_n=1111...1$$ con $n$ de $1's$ . Así que tenemos $$a_n \equiv 1 \pmod{10}$$ Y $$\prod_{k=1}^{n} a_k \equiv 1 \pmod{10}$$ Y $$\sum_{k=1}^{n} a_k \equiv n \pmod{10}$$ Y $$R(n)=\prod_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n} a_k \equiv 1 - n \pmod{10}$$ Por lo tanto, siempre que $n-1$ es divisible por $2,5$ o $10$ , $R(n)$ no es un primo.
Y otro uno es $$a_n \equiv \sum_{k=1}^{n}1=n \pmod{9}$$ Así que $$\prod_{k=1}^{n} a_k \equiv n! \pmod{9}$$ Y $$\sum_{k=1}^{n} a_k \equiv \frac{n(n+1)}{2} \pmod{9}$$ Y $$R(n)=\prod_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n} a_k \equiv n! - \frac{n(n+1)}{2} \pmod{9}$$ Para $n \geq 6$ con $\frac{n(n+1)}{2}$ divisible por 3, $R(n)$ no es un primo. Fuera de $n=6t$ , $n=6t+1$ , $n=6t+2$ , $n=6t+3$ , $n=6t+4$ y $n=6t+5$ sólo $n=6t+1$ y $6t+4$ podría producir primos. Porque $n=6t+1$ se aclara con el caso 1 ( $n-1 = 6t$ divisible por $2$ ) nos quedamos con $6t+4$ .
Otra observación básica es $$\gcd(a_p,a_q)=1$$ donde $p,q$ - primos. Una prueba breve es aquí .
Quería publicar esto como comentario pero era demasiado largo.
No sé si servirá de algo, pero considera reescribir tu función de esta manera:
$$R(n) = (1 \times 11 \times 111 \times \ldots) - (1 + 11 + 111 + 1111 + \ldots)$$
$$R(n) = \left((10^0) \times (10^0 + 10^1) \times (10^0 + 10^1 + 10^2) \times \ldots\right) - \left((10^0) + (10^1 + 10^0) + (10^2 + 10^1 + 10^0) + \ldots \right)$$
Ahora con un poco de matemáticas se puede comprobar que
$$\left((10^0) \times (10^0 + 10^1) \times (10^0 + 10^1 + 10^2) \times \ldots\right) = \prod_{k = 1}^n \frac{10^k - 1}{9}$$
En cuanto a la segunda parte, es más divertida. En efecto, tenemos
$$\left((10^0) + (10^1 + 10^0) + (10^2 + 10^1 + 10^0) + \ldots \right)$$
Pero como tendemos a $n$ podemos comprobar fácilmente que habrá $n$ términos de $10^0$ , $n-1$ términos de $10^1$ , $n-2$ términos de $10^2$ y así sucesivamente, lo que significa
$$\left((10^0) + (10^1 + 10^0) + (10^2 + 10^1 + 10^0) + \ldots \right) = \sum_{k = 0}^{n-1} (n-k)10^k$$
Ahora, con un poco de ayuda (reglas de mathematica), la productora da
$$\prod_{k = 1}^n \frac{10^k - 1}{9} = 9^{-k} {Q}_p (10, 10, k)$$
Dónde ${Q}_p (10, 10, k)$ es el llamado símbolo q-Pochammer, cuya definición es
$${Q}_p (a, q, k) = \prod_{i = 0}^{k-1} (1 - aq^i)$$
Ref https://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer_symbol
Mientras que la suma da
$$\sum_{k = 0}^{n-1} (n-k)10^k = \frac{1}{81}\left(10^{1+n} - 9n - 10\right)$$
Así, su función es
$$R(n) = 9^{-k} {Q}_p (10, 10, k) - \frac{1}{81}\left(10^{1+n} - 9n - 10\right)$$
Como he dicho, no sé si esto ayuda, pero es una buena manera de comprobar $R(n)$ bastante rápido.
Por favor, Si he cometido algún error, haz un comentario. Me gustó esta pregunta e inmediatamente me puse a buscar una forma general adecuada para $R(n)$ .
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