Hipótesis continua - ¿por Qué mi "prueba", no?

Question

Mientras que el pensamiento acerca de la Hipótesis continua, me topé con una manera de pensar acerca de lo que parece intuitivamente sentido para mí. Pero, siendo que yo no soy un matemático y Gödel/Cohen juntos han demostrado que el $\sf{CH}$ es independiente de la $\sf{ZFC}$ axiomas, entiendo que esto es $99.999999999999\%$ de probabilidades de estar equivocado. De todos modos, aquí está mi pensamiento, y si es posible, me gustaría saber de dónde es que me salió mal:

Idea:

El supuesto que subyace en mi "prueba" es que el número de números naturales que necesita un "índice" un conjunto corresponde a su cardinalidad. Por lo tanto, si usted tiene un conjunto $A$, con una cardinalidad $a$, y un conjunto $B$, con una cardinalidad $b$, y necesita $i$ índices índice de $A$, e $j$ índices índice de $B$, y usted puede demostrar que no existe ningún número de los índices entre $i$ $j$ que genere una cardinalidad diferente de cualquiera de las $a$ o $b$, entonces no debe haber ningún cardinalidades entre el $a$ o $b$.

Así que, déjame mostrarte lo que quiero decir con índices. Los miembros del conjunto de los números naturales sólo necesita $1$ natural número de índice. Duh. $1$ presenta marcadas por $1$, $2$ por $2$, etc. Así, un conjunto de cardinalidad $\aleph_0$ necesidades $1$ índice. También sabemos que ordenó $n$-tuplas (con finito $n$) también son contables, que sólo requieren $1$ índice de la etiqueta. ¿Cuál es el próximo que sea posible el número de índices que usted podría necesitar? $\aleph_0$. En el próximo número posible de índices que permitan generar una diferente cardinalidad es $\aleph_0$. Si usted tiene $\aleph_0$ índices, cada uno de los índices ser un número natural, el conjunto de todos estos objetos sería básicamente una ordenó $\aleph_0$-Tupla. La cardinalidad de un conjunto es el de la continuidad. Por lo tanto, dado que no es posible la serie de índices para la etiqueta de los miembros de los conjuntos de entre finito de números naturales y $\aleph_0$, no hay cardinalidades entre el $\aleph_0$ y la cardinalidad del continuo.

¿Por qué no algo como esto? Parece algo fuera de mi suposición es incorrecta, o mi suposición es independiente de $\sf{ZFC}$, y es sólo uno de muchos posibles axiomas $\sf{ZFC}$ podría ser ampliada con...

Answer 1

Su suposición subyacente de que "todo lo que puede ser indexado bien" básicamente se traduce en lo siguiente:

Para cada conjunto infinito $X$, hay algunos de $Y$ tal que $X\equiv (\aleph_0)^Y$, es decir, el conjunto de "$Y$-tuplas" de los números naturales.

Esto, sin embargo, es demostrablemente falsa en ZFC! Resulta que podemos demostrar en ZFC el uso de Koenig del Teorema que $(\aleph_0)^Y$ nunca puede tener exactamente al tamaño de $\aleph_\omega$.

En general, cuando el razonamiento acerca de los infinitos, usted necesita ser muy cuidadoso y preciso. Informal argumentos como lo que has escrito más arriba - que dependen de la apelación a la intuición (¿cómo se puede justificar que todo conjunto puede ser "indexado" muy bien?) - son más propensos a confundir que para ayudar, hasta que haya aprendido lo suficiente de teoría de conjuntos para saber cuándo hay que confiar en ellos.

Por cierto, vale la pena señalar que nosotros sabemos que ZFC (suponiendo que es constante.) no se puede probar la Hipótesis continua: si me das un modelo de ZFC, puedo producir (a través de forzar a) un modelo de ZFC en el que el Continuum de la Hipótesis es falsa (y otra en la que es cierto).

Answer 2

Tienes razón en que para cualquier multitud innumerable, si intenta índice con las tuplas de números naturales, necesitará al menos $\aleph_0$ índices, por lo que su conjunto de todas las posibles tuplas puede crear tiene cardinalidad $\aleph_0^{\aleph_0}=\mathfrak{c}$. Pero, ¿y si realmente no necesitas cada tupla a índice de los elementos de su conjunto? Que es, tal vez si intenta etiquetar todos los elementos de su conjunto con $\aleph_0$-tuplas de números naturales, puede hacerlo, pero no importa cómo usted lo hace, usted tendrá un poco de $\aleph_0$-tuplas que queda al final que usted no ha usado. Esto significaría que el conjunto de la realidad tiene cardinalidad menor que $\mathfrak{c}$. Y, sin embargo, el conjunto que todavía puede ser innumerables: sólo porque usted no puede etiquetar todos los elementos finitos tuplas, no necesariamente significa que si usted utiliza infinito tuplas, usted tendrá que utilizar todas las posibles tuplas.

Answer 3

El motivo principal por el que su argumento no es que el conjunto de todos los 'Aleph-Null-Tuplas' es en sí mismo contables (la prueba de ello es esencialmente la misma que la prueba de la countability de los racionales), por lo que "va a Aleph-Cero' en la indexación de no llegar a un tamaño más grande.