Sabemos que un irracional no tiene bien definidos los valores decimales hasta infinito de decimales. Estas cantidades irracionales existen en la naturaleza en algún tipo de mediciones. Por ejemplo, la circunferencia de un círculo es '2nr' , así que si el radio es racional, entonces la circunferencia será irracional ,y en este caso es bastante natural. Pero soy incapaz de entender , ¿cómo puede una medida física existen con precisión infinita (debido a la precisión de los infinitos valores decimales en un irracional no) ?? ¿No es en contrario con las leyes de la Física??
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celtschk
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Tengo malas noticias para usted: Incluso racional cantidades no existen en la naturaleza. Los números, del tipo que sea, son sólo una forma de describir nuestras observaciones. Pero cuando medimos, siempre tenemos un error de medición, por lo que no podemos realmente decir "esta cantidad medida tiene el valor de $x$", todo lo que podemos decir es "esto mide la cantidad cerca de el valor de $x$". Así, podemos hacer un poco más: es decir, cuantificar cuán cerca está. Esta es la razón por la medición de los resultados se escriben normalmente en la forma $x\pm y$. Por ejemplo, una longitud puede ser medido a ser $1.3\pm 0.5~\rm mm$.
Ahora vamos a pretender que hay un "verdadero valor" de la cantidad medida. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, suponemos que no es un verdadero valor para la longitud, que es probable(!) menos de $0.5~\rm mm$ lejos de el valor de $1.3~\rm mm$.
Los números exactos son, por tanto, nada que no se puede medir, y nada de lo que incluso podemos probar que realmente existen en la naturaleza. Son conceptos abstractos que hemos hecho en nuestra mente con el fin de describir lo que observamos. Y que funcionan muy bien para este propósito. Pero si realmente corresponden a algo "ahí fuera", nadie puede realmente saber.
Pero espera, es decir, no son círculos, y para aquellos que pueden demostrar la circunferencia de más de diámetro es $\pi$. Por lo $\pi$ es parte de nuestro mundo, ¿verdad? Mal: nunca Se ha visto un círculo. Seguramente has visto muchas de las formas que mejor se ajusten a nuestro concepto de un círculo. Pero es probable que si miras lo suficientemente cerca, usted encontrará que no es realmente un círculo. E incluso si usted no puede detectar la diferencia, ¿cómo sabe usted que si hubiera mirado un poco más de cerca, usted habría encontrado una desviación?
Y en última instancia, los de círculo lookalikes usted ha visto probablemente fueron todas hechas de átomos de todos modos, lo que significa que no podría haber sido de un círculo, como ellos tienen el volumen, mientras que el círculo es un ser infinitamente delgada línea.
Ben Millwood
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Una cosa extraña acerca de la cuestión es la aparente creencia de que la notación decimal de un número es de alguna manera fundamental a su significado, y así una interminable expansión decimal es un signo de que el número en sí es de alguna manera interminable o imprecisa.
En primer lugar, un simple fáctica punto: la cuestión de las reclamaciones:
Sabemos que un irracional no tiene bien definidos los valores decimales hasta infinito de decimales
No estoy exactamente seguro de lo que esto significa, pero sospecho que no es cierto. Por ejemplo, tenemos fórmulas que nos dirá cuál es el $n^\mathrm{th}$ dígito decimal de $\pi$ es – en otras palabras, tenemos un perfectamente especificación precisa de cualquier dígito de $\pi$ atención para que usted pueda solicitar. Así que no hay un sentido fundamental en la que $\pi$ es menos específica que, a decir $4.6$, que después de todo tiene un decimal infinita expansión, concretamente $4.600000\dots$
De todos modos, esta fijación en decimal expansiones es innecesario. He aquí cómo puedo elegir a imaginar la "verdadera naturaleza" de un número real: la esencia de un número real es que las medidas de algunos continua de la cantidad – por ejemplo, cada número real es la longitud de una idealizada segmento de línea.
Luego decimal expansiones son una manera de entender estas longitudes mediante una comparación fijo racional longitudes que conocemos, a saber:$1$, $0.1$, $0.01$, y etc. Cuando decimos $\pi = 3.141\dots$, podemos ver esto como una serie de comparaciones, comparando $\pi$ $3$y diciendo que es mayor, en comparación a $3.15$ y diciendo que es de menor tamaño, etc.
De esta manera, la expansión decimal no es la "verdadera naturaleza" de un número, sino simplemente como la opinión de un número que se obtiene cuando se mira a través del lente de potencias de diez. Esto se hace más evidente cuando se den cuenta de que usted puede escribir el mismo número en diferentes bases, ver a través de muchos objetivos diferentes, y de hecho en algunos casos se obtienen muy diferentes resultados, por ejemplo, $1/3$ tiene una infinita expansión decimal, pero una muy sencilla ternario o nonary uno.
Ahora pregunto de nuevo ¿qué significa para algún número real, la longitud de una visión idealizada de la línea de segmento, al ser un número racional. Además, el ser racional es ser $p/q$ para algunos de los números enteros $p$$q$, por lo que un número es racional, precisamente, si algún múltiplo de la misma es un número entero (es decir, $q$ veces es $p$). Lo que significa es que usted puede tomar su segmento de línea y duplicar $q$ veces, se obtiene un segmento de línea que es exactamente $p$ veces un segmento de longitud $1$.
Ahora, la pregunta es: ¿por qué debe ser racional? ¿Por qué esa relación nunca mantenga exactamente?
jeffu
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Debra
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Las relaciones entre los fenómenos en la Naturaleza (φύσις, el origen de la física) existió probablemente antes de que alguien pensó acerca de los números enteros, racionales, y las leyes de la física. Hay una leyenda acerca de Kronecker diciendo enteros fueron-dios, y el resto fue una creación de la humanidad, pero dejemos que la historia de las matemáticas para el momento.
Estas relaciones, por tanto, adaptarse a una variedad de sistemas de unidades. La celeridad de la luz, si es constante, no se preocupa por los que se mide en metros por segundo, o a pie por mes lunar.
Cualquier instrumento de precisión finita, ningún fenómeno es "puro" lo suficiente como para ser medido con precisión.
Lo que importa, si las leyes son lo suficientemente precisas, es tener la suficiente precisión. Así Que, ¿Cuánto Pi Necesita?
Los científicos de la NASA mantener la estación espacial operativa con sólo 15 o 16 dígitos significativos de $\pi$, y las constantes fundamentales de la universo sólo requieren de 32.
Así, con la "cuádruple de precisión" casi se puede trabajar con los "decimales", con respecto a su punto flotante sistema. Que es mucho más simple que con ciertos largo período racionales: $1/97$ dispone de un plazo de 96 dígitos.
Finalmente, para $\pi$, incluso si usted no puede trabajar con precisión infinita, aún puede utilizar el indefinido precisión, la adición de un decimal cuando se desee, utilizando el Bailey-Borwein-Plouffe fórmula, para calcular directamente el valor de cualquier dígito (base 16) de $\pi$ sin calcular el anterior dígitos:
$$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)\right]\,.$$
Peter A. Schneider
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Una pregunta interesante. Se relaciona matemático, es decir, los conceptos mentales a la "realidad". Supongamos que para el propósito de esta discusión que existe una realidad, y que existe fuera de nuestra mente. A continuación, la relación de la bien entendida concepto mental de los números irracionales y que la realidad depende de las propiedades de esa realidad (que, en realidad, probablemente no son completamente conocidos). Doy tres ejemplos.
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Un continuo "paradigma" de la realidad
Si la estructura subyacente del espacio y la materia eran completamente continuo (es decir, no hubo Planck constante, no hay átomos, etc.), todas las propiedades de los objetos naturales tales como la longitud o el peso eran irracionales: Porque hay infinitamente más irracionales que los números racionales, es prácticamente imposible correctamente golpeado, digamos, de 2 cm cuando se corte un pedazo de madera. Se trataría de 2cm + "al azar delta" (aunque sean pequeñas), y que delta "siempre" ser irracional. Lo mismo va para el Prototipo Internacional de Kilogramo y todos los otros artefactos y fenómenos naturales.
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Un mosaico de la realidad
Si la realidad como Minecraft, y todas las propiedades físicas fueron "mosaico" (aunque a una escala atómica), todas las propiedades sería racional: Todo es un múltiplo de bloque de longitudes, pesos, tiempos, etc. y así todas las propiedades se pueden expresar como fracciones de números enteros.
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Nuestro mundo cuántico
Nuestra realidad es un poco como Minecraft, salvo que las cosas se vuelven difusas si se mira muy de cerca. Esto significa que ninguna propiedad de un objeto que se desea medir se puede medir exactamente; en un nivel fundamental, siempre hay una, así, la incertidumbre. (Esto no es una deficiencia en nuestra forma de medición -- los errores que habría de venir en la parte superior --, sino una propiedad de nuestro universo.) Debido a que la exactitud es limitado, uno no necesita tener miedo de quedarse sin decimales.
Cualquier intervalo producido por la cantidad de incertidumbre que tiene muchos números racionales en ellos; por tanto, en una manera que usted puede conseguir probablemente lejos sin usar los números irracionales en la descripción de la realidad. (Pero también se puede obtener de distancia sin usar cualquiera de los números racionales, la mente). Cualquier círculo existente puede tener ambas cosas: Una racional diámetro y racional de la circunferencia, por lo que se puede decir (+/- la longitud de Planck).
