¿Por qué $\frac{1} {99989999} $ generar la secuencia de Fibonacci?

Question

$\frac{1}{99989999} = 1.00010002000300050008001300210034005500890144... \times 10 ^ {-8} $

(Enlace), que incluye la secuencia de Fibonacci $(1\ 1\ del 2\ 3\ 5\ 8\ $13\ 21\ 55\ 89\ 144\ldots).

Esto es fascinante para mí pero no puedo averiguar cómo funciona, y una búsqueda en Google no parece revelar algo.

Answer 1

Como se explica aquí, la generación de la función de la secuencia de Fibonacci es $A$1+z+2z^2+3z^3+5z^4+8z^5+13z^6+...=\frac{1}{1-(z+z^2)}$$

$10^8/99989999$ es simplemente el valor de la generación de esta función por $z=0.0001$.

En el segmento inicial de la secuencia de Fibonacci, donde todos los números tienen en la mayoría de 4 dígitos aparecerá agradable y visible en la expansión decimal. Después de eso, los dígitos de los sucesivos números de Fibonacci se añadirá a cada desplazamiento de otro por $4$ posiciones. Con el tiempo esto va a crear una repetición de dígitos de la secuencia de alguna manera.

Answer 2

Esta respuesta está destinado a recoger donde Henning Makholm la respuesta dejó y direcciones de la

Con el tiempo esto va a crear una repetición de dígitos de la secuencia de alguna manera.

parte. La explicación que sigue es debido a Allen Schwenk y la última parte de su artículo en Matemáticas Horizontes titulado Un Imprevisto Decimal de Expansión. Todo el crédito va para él.

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Spoiler: La duración del período de la expansión decimal es de $496620$ dígitos.

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La duración del período de la expansión: toda fracción de la forma $1/$ D puede ser examinada, con un periodo de duración de $p$ y un irregular de plomo en la secuencia de $k$ dígitos. Se debe mirar como este, donde nos han mostrado los irregulares de plomo y en los dos primeros períodos $$ \frac{1}{D}=0.a_1a_2\ldots a_ka_{k+1}a_{k+2}\ldots a_{k+p}a_{k+1}a_{k+2}\ldots a_{k+p}.\la etiqueta{1} $$ Cuando multiplicamos la fracción en $(1)$ de $10^{p+k}$ y restar el original de la fracción veces $10^k$, lo que está más allá del punto decimal en gotas. En otras palabras, hemos formado un entero $N$ donde $$ \frac{1}{D}10^{p+k}-\frac{1}{D}10^k=\frac{10^{p+k}-10^k}{D}=N. $$ Esto conduce a la ecuación entero $$ (10^p-1)\cdot 10^k=ND. $$ Ahora centrándose en $D=998999$, vemos que los factores en dos de los números primos $$ D=998999=179\cdot 5581. $$ Ya que ni el primer comparte un factor con $10^k$, estamos obligados a estar de acuerdo que $N=10^k M$ para otro integer $M$. La ecuación puede escribirse como $$ 10^p-1=MD, $$ lo que implica que la solución ha $k=0$, es decir, no hay plomo en la secuencia. Estamos obligados a concluir que $10^p\equiv1\bmod 179$ y $10^p\equiv1\bmod 5581$. Esto significa que $d_1$, el orden de $10\mod 179$, debe ser un divisor de $178$ (por el teorema de Euler sobre grupos finitos) y también del período $p$. Del mismo modo, $d_2$, el orden de $10\mod 5581$, debe ser un divisor de $5580$ y también de $p$. De hecho, se requieren $p=\operatorname{lcm}(d_1,d_2)$. Por otra parte, $178=2\cdot 89$, por lo que el único de los candidatos por el orden de $d_1$ son $2, 89$, y $178$. Claramente $10^2\no\equiv 1\bmod 179$. ¿Qué cerca de $10^{89}$? Rápida inspección muestra que $$ 10^{11} \equiv 157\bmod 179\\[0.5 em] 10^{22} \equiv 157^2 \equiv 126\bmod 179\\[0.5 em] 10^{44} \equiv 126^2 \equiv 124\bmod 179\\[0.5 em] 10^{88} \equiv 124^2 \equiv 161\bmod 179\\[0.5 em] 10^{89} \equiv 1610 \equiv -1\bmod 179 $$ El orden de los $10\bmod 179$ es $d_1=178$.

Del mismo modo, $5580=2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 31$. Esto ha $36$ posibles divisores, y podemos comprobar (una tarea tediosa) de cada uno de estos poderes de $10\bmod 5581$. Nos encontramos con que el único poder que se reduce a $1\bmod 5581$ es $10^{5580}$. Por lo que $d_2=5580$ y $p=\operatorname{lcm}(178,5580)=496620$.

Answer 3

Deje de $F_i$ ser $i$-ésimo número de Fibonacci.

Tenemos $$\frac{1}{999,999,999,998,999,999,999,999}$$

representado en forma decimal como:

0. 000 000 000 000 
   000 000 000 001 
   000 000 000 001
   000 000 000 002
   000 000 000 003
   000 000 000 005
   000 000 000 008
   000 000 000 013
   000 000 000 021...

Esta decimal es $$x = 10^{-12}F_1 + 10^{-24}F_2 + 10^{-36}F_3 + \ldots + 10^{-12k}F_k + \ldots \etiqueta{1}$$

donde $x$ es nuestro número nos vamos de $k$ rango sobre los naturales. Multiplicar la anterior por $10^{12}$ para obtener $$10^{12} x = F_1 + 10^{-12}F_2 + 10^{-24}F_3 +\ldots + 10^{-12k}F_{k+1} +\ldots \etiqueta{2}$$

Multiplicar la anterior por $10^12$ una vez más para conseguir $$10^{24}x = 10^{12}F_1 + F_2 + 10^{-12}F_3 + 10^{-24}F_4 + \ldots + 10^{-12k}F_{k+2} + \ldots \etiqueta{3}$$

Ahora, podemos calcular el valor de $(3) - (2) - (1)$ para obtener $$(10^{24} – 10^{12} – 1) x = 10^{12}F_1 + (F_2 – F_1) + 10^{-12}(F_3 – F_2 – F_1) + 10^{-24}(F_4 – F_3 – F_2) + \ldots + 10^{-12k} (F_{k+2} – F_{k+1} – F_k) + \ldots $$

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Mientras que esto parece bastante difícil de trabajar, tenemos el privilegio de trabajar con la secuencia de Fibonacci aquí, ya que es definida como $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ con las condiciones iniciales que $F_1 = 0$ y $F_2 = 1$

Por lo tanto, usted recibe $$F_{k+2} – F_{k+1} – F_k = \left(F_{k+1} + F_k\right) – F_{k+1} – F_{k} = 0$$

de modo que la ecuación se simplifica a $$(10^{24} – 10^{12} – 1)x = 1 \iff x = \frac{1}{10^{24} – 10^{12} – 1}$$

Y usted estará muy contento de notar que, de hecho,, $$10^{24} - 10^{12} - 1 = 999,999,999,998,999,999,999,999$$