Número de estructuras diferenciables en una colmena lisa

Question

En el libro de John Lee, Introduction to Smooth Manifolds, me topé con el siguiente problema (problema 1.6):

Dejemos que $M$ sea una variedad topológica no vacía de dimensión $n \geq 1$ . Si $M$ tiene una estructura suave, demuestre que tiene incontablemente muchas distintas.

El truco en este ejercicio fue utilizar la función $F_s(x) = |x|^{s-1}x$ , donde $s \in \mathbb{R}$ y $s>0$ . Esta función define un homeomorfismo de $\mathbb{B}^n$ a sí mismo, y es un difeomorfismo si $s=1$ .

Ahora, leyendo el libro de Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, escribe:

"Se sabe que en la dimensión $< 4$ cada colector topológico tiene un único estructura diferenciable y en dimensión $>4$ toda variedad topológica compacta tiene un número finito de estructuras diferenciables. [...]"

¿Puede alguien ayudarme a explicar cómo este último "hecho conocido" y el problema 1.6 del libro de Lee no se contradicen?

Gracias de antemano

Answer 1

La distinción que hay que hacer es que un estructura diferenciable es una elección de atlas liso máximo $\mathcal A$ pero dos diferentes opciones $\mathcal A$ y $\mathcal A'$ pueden dar lugar a estructuras lisas isomorfas. Como ejemplo, la estructura lisa canónica $\mathcal A$ en $\mathbb R$ que contiene la función suave ${\rm id}:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ es isomorfo a la estructura lisa $\mathcal A'$ que contiene la función suave $x\mapsto x^3$ aunque $\mathcal A'\neq \mathcal A$ . Por lo tanto, aunque una variedad admite un número incontable de estructuras lisas diferentes, puede tener un número finito de clases de isomorfismo de dichas estructuras.

Answer 2

En la segunda afirmación, "único" significa único hasta el difeomorfismo.

Si tiene un colector $M$ con una estructura suave $A$ y un homeomorfismo $\varphi :M \rightarrow M$ que no es un difeomorfismo si lo consideramos como un mapa entre las variedades lisas $(M,A) \rightarrow (M,A)$ entonces podemos definir una estructura suave distinta, digamos A', en $M$ componiendo los gráficos de coordenadas de $M$ con $\varphi$ .

Ahora considere $\varphi: (M,A') \rightarrow (M,A)$ . Que este respeto a estas estructuras lisas, $\varphi$ será un difeomorfismo. Por lo tanto, aunque tienes una estructura suave distinta, no es realmente tan diferente.

La cuestión (bastante difícil) de cuántas estructuras lisas existen en una determinada variedad topológica hasta el difeomorfismo. De esto habla Tu.