¿Es A276175 un número entero?

Question

Los términos de la secuencia A276123 definido por $a_0=a_1=a_2=1$ y $$a_n=\dfrac{(a_{n-1}+1)(a_{n-2}+1)}{a_{n-3}}\;,$$ son todos enteros (es fácil demostrar que para todo $n\geq2$ , $a_n=\frac{9-3(-1)^n}{2}a_{n-1}-a_{n-2}-1$ ).

Pero, ¿es también cierto para la secuencia A276175 definido por $a_0=a_1=a_2=a_3=1$ y $$a_n=\dfrac{(a_{n-1}+1)(a_{n-2}+1)(a_{n-3}+1)}{a_{n-4}} \;\;?$$

Actualización : He hecho un crossposting en MO .

Answer 1

Sí, $(a_n)$ es una secuencia de números enteros.

Para demostrarlo, primero tenemos que estudiar algunas secuencias auxiliares que satisfacen una relación de recurrencia polinómica (a diferencia de $(a_n)$ que tiene como recurrencia una fracción racional).

Considere las secuencias $(b_n)$ de reales positivos que satisfacen la relación de recurrencia $b_nb_{n+4} = b_{n+1}b_{n+2}b_{n+3} + 1$ .

Resulta que podemos expresar $b_{n+8}$ como un polinomio en $b_n, \ldots, b_{n+7}$ :

Desde $b_{n+1}b_{n+5} \equiv b_{n+2}b_{n+6} \equiv b_{n+3}b_{n+7} \equiv 1 \pmod {b_{n+4}}$ y $b_{n+1}b_{n+2}b_{n+3} \equiv -1 \pmod {b_{n+4}}$ tenemos $b_{n+5}b_{n+6}b_{n+7} \equiv -1 \pmod {b_{n+4}}$ lo que sugiere la existencia de una fórmula para $b_{n+8}$ .

Con esta hoja de ruta, podemos escribir

$(b_{n+1}b_{n+2}b_{n+3})(b_{n+5}b_{n+6}b_{n+7}+1) \\ = (b_{n+1}b_{n+5})(b_{n+2}b_{n+6})(b_{n+3}b_{n+7}) + (b_{n+1}b_{n+2}b_{n+3}) \\ = (b_{n+2}b_{n+3}b_{n+4}+1)(b_{n+3}b_{n+4}b_{n+5}+1)(b_{n+4}b_{n+5}b_{n+6}+1)+(b_nb_{n+4}-1) \\ = b_{n+4}.F(b_{n+i})$

donde $F$ es un gran polinomio. Y finalmente,

$(b_{n+5}b_{n+6}b_{n+7}+1) = (b_{n+5}b_{n+6}b_{n+7}+1)(b_nb_{n+4} - b_{n+1}b_{n+2}b_{n+3}) \\ = b_{n+4}(b_nb_{n+5}b_{n+6}b_{n+7}+b_n - F(b_{n+i})) = b_{n+4} G(b_{n+i})$ .

Y así, $b_{n+8} = G(b_{n+i})$ . Esto significa que si $b_0, \ldots, b_7 \in R$ para algún subring $R$ de $\Bbb R$ entonces toda la secuencia está en $R$ .

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Ahora, para volver a la secuencia original.

Dada esta secuencia $(b_n)$ definimos una secuencia $(a_n)$ por $a_n = b_nb_{n+1}b_{n+2}$ .

Esta secuencia satisface $a_na_{n+4} = (b_n b_{n+1}b_{n+2})(b_{n+4}b_{n+5}b_{n+6}) \\ = (b_n b_{n+4})(b_{n+1} b_{n+5})(b_{n+2} b_{n+6}) = (b_{n+1}b_{n+2}b_{n+3}+1)(b_{n+2}b_{n+3}b_{n+4}+1)(b_{n+3}b_{n+4}b_{n+5}+1) \\ = (a_{n+1}+1)(a_{n+2}+1)(a_{n+3}+1)$ .

Por último, tomando $b_0 \ldots b_7 = \frac 12, 4, \frac 12, \frac 12, 4, \frac 12, 4, 18$ obtenemos una secuencia $(b_n)$ con términos en $\Bbb Z[\frac 12]$ con el correspondiente $(a_n)$ secuencia $1,1,1,1,8,36, \ldots$

Como la relación de recurrencia es simétrica, puede ir tanto hacia atrás como hacia delante, de ahí que el anillo $R_n = \Bbb Z[b_n, \ldots, b_{n+7}]$ es independiente de $n$ . No hay esperanza de encontrar $8$ valores enteros consecutivos en nuestra secuencia $b_n$ .

Si observamos la secuencia $(b_n)$ modulo $8$ de nuestro primer octuplo y aplicando la transformación polinómica, podemos llegar a $17225$ diferentes octubres mod $8$ y ninguno de ellos corresponde a un número no entero $a_n$ . Este cálculo demuestra que $a_n$ es un número entero para todos los $n$ (cuidado, un paso puede ir de un octillón a varios octillones, porque a veces se pierde precisión).

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Tenga en cuenta que utilizando esta definición,

$a_na_{n+2}/a_{n+1}(a_{n+1}+1) = b_nb_{n+2}b_{n+4}/(b_{n+1}b_{n+2}b_{n+3}+1) = b_{n+2}$ ,

y para ir en la otra dirección hay que definir $(b_n)$ de $(a_n)$ con $b_n = a_{n-2}a_n/a_{n-1}(a_{n-1}+1)$ . Entonces, de nuevo la relación de recurrencia de $(b_n)$ se deduce de la de $(a_n)$ .

Esto demuestra que para cualquier secuencia racional $(a_n)$ hay una secuencia racional correspondiente $(b_n)$ y así $(a_n)$ está en un subring de generación finita de $\Bbb Q$ .