Confundido por la prueba de la irracionalidad de la raíz 2: si $p^2$ es divisible por $2$ entonces también lo es $p$ .

Question

En las pruebas típicas de la irracionalidad de $\sqrt{2}$ He visto la siguiente lógica:

Si $p^2$ es divisible por $2$ entonces $p$ es divisible por $2$ .

Quizás estoy siendo demasiado analítico, pero ¿cómo sabemos que esto es cierto? Es decir, ¿necesitamos una prueba de esta implicación, o es simplemente un hecho?

Answer 1

La prueba más rápida de este hecho es observar que todo número entero $n$ es par o impar.

Si $n$ está en paz, $n=2k$ para algún número entero $k$ : $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ está en paz.

Si $n$ es impar, $n=2k+1$ para algún número entero $k$ : $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 +4k + 1 = 2(2k^2 +2k) +1$ es impar.

Por tanto, el cuadrado de un número entero es par si y sólo si ese número es par.

Answer 2

Según el lema de Euclides si $p$ es un primo y $a,b$ son números enteros, entonces $p \mid ab$ implica que $p \mid a$ o $p \mid b$ .

Desde $2$ es primo y divide a $p^2 = p\cdot p$ entonces $2 \mid p$ o $2 \mid p$ . En cualquier caso, $2 \mid p$ .

Answer 3

Una forma sencilla y (quizá) menos técnica de exponerlo podría ser dibujar la siguiente tabla: $$ \begin{array}{|c|c|} \hline \times&\text{even}&\text{odd}\\ \hline \text{even}&\text{even}&\text{even}\\ \hline \text{odd}&\text{even}&\text{odd}\\ \hline \end{array} $$

---

Por otro lado, personalmente prefiero la prueba de que ninguna fracción no entera tiene potencias no enteras explotando la factorización primaria única: $$ \left(\frac{p_1\cdot p_2\cdots p_n}{q_1\cdot q_2\cdot q_m}\right)^s=\frac{p_1^s\cdot p_2^s\cdots p_n^s}{q_1^s\cdot q_2^s\cdot q_m^s} $$ ya que si no se pudiera cancelar ninguno de los factores primos $p_1,p_2,...,p_n,q_1,q_2,...,q_m$ antes, sigue sin poder hacerlo cuando aparecen con multiplicidad $s$ . Esto demuestra que entre los números enteros, sólo los cuadrados perfectos, los cubos, etc. tienen raíces cuadradas enteras, raíces cúbicas, etc.

Answer 4

Utilizar la aritmética modular,

$$p^2\equiv p\mod2$$ porque

$$p^2-p=p(p-1)\equiv0\mod2$$ como uno de $p$ y $p-1$ está en paz.

Answer 5

Es un simple hecho que se puede tomar como un axioma, o se puede demostrar fácilmente.

Supongamos que $p$ es par, lo que significa que $p = 2k$ , donde $k$ también es un número entero. Entonces $p^2 = (2k)^2 = 4k^2$ .

Pero si $p$ es impar, entonces $p = 2k + 1$ y $p^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ .

Así que si $p$ es divisible por $2$ entonces también lo es $p^2$ pero si $p$ no es divisible por $2$ , entonces tampoco lo es $p^2$ .