¿Por qué la notación ket y bra?

Question

Entonces, he estado tratando de enseñarme sobre computación cuántica, y encontré una gran serie de YouTube llamada Quantum Computing for the Determined. Sin embargo. ¿Por qué usamos la notación ket/bra? La notación de vector normal es mucho más clara (bueno, más clara porque he pasado un par de semanas versus dos días con ella, pero aún así). ¿Hay algún significado en esta notación? Supongo que se usa por alguna razón, pero ¿cuál es esa razón? Supongo que simplemente no entiendo por qué usarías la notación ket cuando ya tienes una notación perfectamente buena.

Answer 1

De hecho, estoy de acuerdo contigo, la notación estándar es, desde mi punto de vista personal, ya suficientemente clara y la notación bra-ket debe ser utilizada cuando realmente sea útil. Un caso típico en MQ es cuando un vector de estado está determinado por un conjunto de números cuánticos como este $$\left|l m s \right\rangle$$ Otro caso se refiere al uso de los llamados números de ocupación $$\left|n_{k_1} n_{k_2}\right\rangle$$ en QFT. También la notación de q-bits para estados $\left|0\right\rangle$, $\left|1\right\rangle$ en teoría de la información cuántica tiene sentido... Finalmente, el uso de la notación bra-ket permite denotar proyectores ortogonales en subespacios de una manera muy efectiva $$\sum_{|m|\leq l}\left|l m \right\rangle \left\langle l m\right|\:.$$

Una razón para su, en mi opinión, uso hoy en día no completamente justificado es histórica y se debe al famoso libro de P.A.M. Dirac. En la década de 1930, objetos matemáticos como espacios de Hilbert y espacios duales, operadores autoadjuntos, no eran herramientas matemáticas muy familiares para los físicos. (La noción moderna de espacio de Hilbert fue inventada en 1932 por J. von Neumann en su libro menos famoso sobre los fundamentos matemáticos de la MQ.) Dirac propuso una notación muy agradable que englobaba una parte fundamental del formalismo. Sin embargo, también incluye algunas desventajas. En particular, manipular operadores no autoadjuntos, por ejemplo, simetrías, resulta ser muy engorroso dentro del formalismo bra-ket. Si $A$ es autoadjunto, en $\left\langle \psi\right| A\left| \phi\right\rangle$ el operador puede ser visto, indiferentemente, como actuando a la izquierda o a la derecha preservando el resultado final. Si el operador no es autoadjunto esto es falso.

Creo que la notación bra-ket es una herramienta muy útil, pero debe utilizarse "cum grano salis" en MQ. En mi opinión $\left|\psi\right\rangle$ donde $\psi$ es una función de onda de mecánica cuántica, puede ser una notación peligrosa, especialmente para los estudiantes, ya que genera preguntas engañosas como esta, $A\left|\psi\right\rangle = \left|A\psi \right\rangle$?

ADENDUM. Entiendo que he interpretado la pregunta en un sentido más amplio, con respecto al uso de la notación bra-ket en MQ en lugar del campo restringido de la teoría de la información cuántica.

Answer 2

¿Qué es la "notación de vector normal"? He visto corchetes angulares con comas, paréntesis, corchetes cuadrados, $\hat{x}$, $\hat{i}$, matrices de columna, matrices de fila ... ¿cuál de esos es "normal", $(x|y)$, ...?

Los bras y los kets son solo otro, con la ventaja particular de que distingue el espacio vectorial de su espacio dual.

edición después del comentario

Nota que algunas de estas son notaciones de componentes, que no funcionan para la mecánica cuántica ya que el número de dimensiones puede ser grande o infinito.

Answer 3

Creo que hay una razón práctica para la notación de ket en la computación cuántica, que es simplemente que minimiza el uso de subíndices, lo que a veces puede hacer las cosas más legibles.

Si tengo un solo qubit, puedo escribir sus vectores base canónicos como $\mid 0 \rangle$ y $\mid 1 \rangle$ o como $\mathbf{e}_0$ y $\mathbf{e}_1$, realmente no hace mucha diferencia. Sin embargo, ahora supongamos que tengo un sistema con cuatro qubits. Ahora, en la notación de vector "normal", los vectores base tendrían que ser algo como $\mathbf{e}_{0000}$, $\mathbf{e}_{1011}$, etc. Tener esas largas cadenas de dígitos escritas como subíndices pequeños las hace un poco difíciles de leer y no se ven tan bien. Con la notación de ket, son $\mid 0000\rangle$ y $\mid 1011\rangle$, etc., lo que mejora un poco esta situación. También se podría comparar $\mid\uparrow\rangle$, $\mid\to\rangle$, $\mid\uparrow\uparrow\downarrow\downarrow\rangle$, etc. con $\mathbf{e}_{\uparrow}$, $\mathbf{e}_{\to}$, $\mathbf{e}_{\uparrow\uparrow\downarrow\downarrow}\,\,$ para un problema similar.

Answer 4

Primero, esta notación hace muy claro qué objetos son interpretados como elementos del espacio primal (kets) o elementos del espacio dual (bras).

Los nombres "bra" y "ket" recuerdan cómo se formó la notación: como las mitades izquierda y derecha de un producto interno, la proyección del estado $a$ a lo largo de la medición $\phi$ es el producto interno (indicado por corchetes angulares) $\langle \phi , a \rangle$, que puede ser tipográficamente desglosado en $\langle \phi \mid\,\mid a \rangle$, dos objetos que tipográficamente sugieren aspecto vectorial.

También existe una limitación de la máquina de escribir que contribuye a esta notación (y demasiadas notaciones que son simplemente variantes de dos o más elementos en una lista separada por comas encerrada entre paréntesis o corchetes: MCD, mcm, objeto generado por, meet, join, intervalos con diversas convenciones de puntos finales, secuencias, tuplas de objetos, etc...). Es muy laborioso escribir un vector columna en una máquina de escribir. Las máquinas de escribir no tienen corchetes grandes para vectores columna. Esto lleva a construcciones estrictamente malformadas como "Sea $A$ un operador lineal entre $\Bbb{R}^2$ y $\Bbb{R}^2$, entonces $A \cdot (1,0)$ tiene ..." donde se escribe un vector fila en un lugar donde se requiere un vector columna. En particular, esto significa que la forma más común de vector en álgebra lineal inicial es difícil de escribir y frecuentemente se escribía incorrectamente transpuesto.

Además, los elementos de los espacios primal y dual deberían ser fácilmente distinguibles (para evitar escribir involuntariamente, por ejemplo, $\sum_i \mid \mathrm{e}_i \rangle \mid \mathrm{e}_i \rangle$). Sin embargo, la solución "obvia" es aún más difícil de escribir: "$\sum_i \langle \mathrm{e}_i \mid \underline{\widehat{\mathrm{e}_i}}$" (e incluso con todo el poder de MathJax, tanto tiempo como esté dispuesto a pasar en esto necesariamente tiene al vector primal apuntando hacia arriba en lugar de hacia abajo).

Finalmente, las cosas que se ponen en un bra o ket rara vez son un conjunto de componentes vectoriales. Según las definiciones que utiliza un matemático, las componentes de un vector provienen todas del mismo campo. Esto no funcionará para estados descritos por variables continuas y discretas, o por estados con algunas variables en el espacio primal y algunas variables en el espacio tangente. (Si obligamos a que esto funcione, realmente obtenemos sumas directas de módulos, no espacios vectoriales). Así que aunque quisiéramos poner listas de números que describen un estado en un bra o ket, lo que obtenemos no es y no puede ser un vector (formal).

Answer 5

La notación de bra-ket es un avance del producto punto de vectores "normales". $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_i a_ib_i . $$ Esto se generaliza al producto interno $ \langle a, b \rangle $, que para funciones se define como: $$ \langle a(x), b(x) \rangle = \int a(x)b(x) dx $$ en el caso simple de funciones de 1 dimensión.

Bien, la gran ventaja de la notación bra-ket es que no es necesario especificar la representación, es decir, el sistema de coordenadas hasta que se quiera calcular algo en un espacio específico.

Parte del atractivo de la notación es la independencia de la representación abstracta que codifica, junto con su versatilidad para producir una representación específica (por ejemplo, x o p, o una base de eigenfunciones) sin mucha complicación, o excesiva dependencia de la naturaleza de los espacios lineales involucrados.

Es bastante útil cuando, por ejemplo, se evalúan ecuaciones como

$$ \langle \psi_0 | ( |\psi_0\rangle + |\psi_1\rangle) = \langle \psi_0 |\psi_0\rangle ,$$ donde $ |\psi_i\rangle $ son algunos estados ortogonales. Es una evaluación rápida sin necesidad de especificar el sistema de $|\psi\rangle$ - ya sea que $|\psi_0\rangle = (1, 0) $ y $|\psi_1\rangle = (0, 1) $ o que sean $ |\psi_0\rangle = (1, \pi/2) $ y $|\psi_1\rangle = (1, 0) $ en coordenadas polares $r, \varphi$.

Veo tu punto al decir que la notación de vector "normal" es mucho más clara. Eso puede ser cierto para estos vectores simples como los de arriba, pero hace las cosas difíciles de escribir cuando se trata de funciones en espacios de Hilbert multi- o incluso infinito-dimensional.