Demostrando un conocido cero de la de Riemann Zeta tiene parte real exactamente 1/2

Question

Mucho esfuerzo se ha invertido en un famoso problema sin resolver acerca de la de Riemann Zeta función $\zeta(s) de dólares. No es de extrañar, que se llama la hipótesis de Riemann, que afirma:

$$ \zeta(s) = 0 \Rightarrow \operatorname{Re} s = \frac1 2 \text{ o } \operatorname{Im} s = 0 .$$

Ahora hay métodos numéricos para aproximar $\zeta(s)$, pero como yo lo entiendo, nadie sabe exacta de los valores, excepto en números enteros, que incluyen el trivial ceros para que $\operatorname{Im} s = 0 $. Así que siempre me he preguntado: Para el resto, ¿cómo hace uno para demostrar que $\operatorname{Re} s = 1/2$ exactamente?

(Todo lo que sé que parece vagamente útil es el argumento de principio, que no estoy seguro de ayuda aquí, pero me encantaría aprender acerca de otras técnicas que no son demasiado avanzada.)

Edit: Mirando por encima de esto otra vez, me enteré de que me perdí la forma cerrada de valores impares enteros negativos. Esto no afecta a la pregunta, pero parecía digno de corrección. Gracias a las personas que han contribuido.

Answer 1

Mientras no hay múltiples ceros en la línea a la altura $T$ se puede determinar, de forma rigurosa y el uso de una cantidad finita de cálculo:

• el número de ceros (contadas con multiplicidad) fuera de la línea crítica, es decir, el número de contraejemplos a la hipótesis de Riemann, de altura inferior a $T$. Esto se hace por el contorno de las integrales de $d \log \zeta$ -- el argumento del "principio" en el análisis complejo. Para cada uno cero uno puede localizar a cualquier precisión especificada, y determinar su multiplicidad.

• el número de ceros en la línea crítica, a la altura $T$. Para cada cero, sus coordenadas en la línea puede ser calculado para cualquier precisión deseada. Esto se hace contando signo de los cambios de funciones analíticas con un $\zeta (1/2 +)$ factor, en la línea crítica. Como Matt Correo mencionado, la capacidad para escribir un valor real de la función de capturar el comportamiento de una función compleja en una línea es un especial fenómeno particular a zeta y L-funciones, que viene de la funcional de la ecuación que relaciona la $\zeta(s)$ $\zeta(1-s) us$.

Si hay varios cero de orden $n$ en algún punto de la línea, todo lo que puede determinar mediante cálculos de los del tipo anterior es que un muy pequeño barrio de ese punto contiene $$ n ceros (contadas con multiplicidad). Esto podría significar que los ceros en la línea, contraejemplos a la conjetura de Riemann, o ambos.

Es parte del paquete de conjeturas que rodea la hipótesis de Riemann, que no hay múltiples ceros, y que los ceros en el hecho de "repeler" el uno al otro en una cuantificables sentido. Hay una gran cantidad numérica y apoyo teórico para el cero repulsión, especialmente aleatoria, la teoría de la matriz. Si la hipótesis de Riemann es cierto, pero hay varios ceros, que sería casi tan sorprendente como la búsqueda de un cero fuera de la línea.

Answer 2

En primer lugar, utiliza el argumento de principio a partir de análisis complejos para calcular el número de ceros con partes reales entre $0$ y $1$ y con imaginaria entre $0$ y algún número positivo de $T$. Ya que la respuesta es a priori un número entero, se puede obtener una respuesta precisa, incluso a pesar de que uno no se puede calcular el $\zeta$-función exactamente; es "sólo" una cuestión de la delimitación de la de error en todas las aproximaciones con suficiente cuidado.

Entonces, uno tiene que demostrar que este número de ceros de hecho se encuentran en la línea donde $\Re s = 1/2$. Para esto, uno de los factores de $\zeta(1/2 + i t)$ como un producto de cierto en ninguna parte la función cero, y una verdadera función con valores de $Z(t)$ (que es la función que aparece en J. M. de la respuesta). (Que esto puede se realiza en una forma útil es parte de la teoría de la $\zeta$-función).

Para contar los ceros de $\zeta$ con $\Re s = 1/2$ es ahora el mismo que el recuento de ceros de $Z(t)$, la cual puede ser determinada por el signo de los cambios en $Z(t)$ (siempre que uno estima en $Z(t)$ con la suficiente precisión).

Suponiendo que todas las obras (que no se si RH es cierto!) uno llega a una rigurosa prueba de que todos los ceros con parte imaginaria $\leq T$ yacen en la línea $\Re s = 1/2$. (De hecho, para este trabajo, uno también necesita los ceros de $\zeta$ a ser simple, lo que se conjetura que es; ver T..'s respuesta para una elaboración de este.)

Answer 3

Por lo que he encontrado, que mayormente se presenta como un hecho consumado, por ejemplo, la de Riemann-Siegel función $Z(t)$, una función que se utiliza con frecuencia en el cero de la investigación, se define con un $\zeta\left(\frac12+\right)$ factor. Lo que ahora se busca al utilizar construcciones como estas es si la función de los siglos "da la espalda" en el eje horizontal, sin cruzar (si esto sucede, la hipótesis es falsa).

Esta es la razón por cosas como Lehmer del fenómeno son interesantes comportamiento para el ζ función. Sencillamente, estas son las secciones de la crítica de la tira donde no hay (muy!) casi ningún cruce.

Aquí hay dos formas tradicionales de la visualización de la Lehmer fenómeno: uno puede ver en el gráfico de la de Riemann-Siegel función:

(Mathematica código: Plot[RiemannSiegelZ[z], {z, 0, 100}, AspectRatio -> 1/5, Frame -> True])

o el llamado "zeta espiral" $z(t)=\zeta\left(\frac12+\right)$ en el plano complejo:

(Mathematica código: ParametricPlot[Through[{Re, Im}[Zeta[1/2 + I t]]], {t, 0, 40}, AspectRatio -> Automatic, Frame -> True]).

Ahora, aquí está la primera instancia de la Lehmer fenómeno, visto el uso de ambos puntos de vista:

(Mathematica código: Plot[RiemannSiegelZ[z], {z, 7004, 7006}, Frame -> True, PlotRange -> {-2, 2}])

(Mathematica código: ParametricPlot[Through[{Re, Im}[Zeta[1/2 + I t]]], {t, 7004 + 1/2, 7005 + 1/2}, AspectRatio -> Automatic, Frame -> True])

La hipótesis de que habría sido falso si para la de Riemann-Siegel función, la función que se muestra un extremo local, sin cruzar el eje de las x, o para los zeta espiral, la aparente "cúspide" era en realidad una cúspide o incluso no pase por el origen. (No voy a estropear la diversión mediante la publicación de zoom en las versiones de los últimos dos imágenes, usted puede hacerlo usted mismo con Mathematica o en algún otro entorno informático que puede evaluar ζ(s) para valores complejos).

Los dos ceros son, de hecho, bastante cerca de: FindRoot[RiemannSiegelZ[x], {x, ##}, WorkingPrecision -> 20] & @@@ {{7005 + 1/50, 7005 + 7/100}, {7005 + 9/10, 7005 + 11/100}} devuelve los dos ceros aproximados 7005.0628661749205932 y 7005.1005646726748389.

Answer 4

Usted debe demostrar que, por ejemplo, $ \frac{\xi(s)}{\xi(0)} = \frac{\det(H+1/4+s(s-1)}{\det(H+1/4)}$ con $H$ de ser un operador Hamiltoniano con potencial $ V^{-1}(x) $ proporcional a la mitad de derivados de la Autovalor Escalera $ N(x)\pi = Arg \xi(1/2+ i \sqrt x) $ (ver aquí).

Desde el operador Hamiltoniano es Hermitian entonces todas las raíces de la zeta de Riemann tienen parte real de $ 1/2$. Esta prueba es similar a la prueba de la función seno

$ \frac{sin(x)}{x} $ con el potencial de $ V(x)=0 $ y condiciones de contorno $ y(0)=y(1)=0 $