límite de $\lim_{n\to ∞}\sin(\pi(2+\sqrt3)^n)$

Question

$\lim_{n\to ∞}\sin(\pi(2+\sqrt3)^n)$

He tratado de escribir como $\sin (n\pi - \theta)$ para obtener el formulario de $∞-∞$ formulario dentro de $\sin$ función. Pero no pudo continuar después de eso. ¿Cómo debo hacerlo?

Edit:lo siento, se me olvidó $n\in \mathbb{N}$

Answer 1

Nota: $|2-\sqrt{3}|<1$ y, por tanto,$\lim_{n\to\infty}(2-\sqrt{3})^n=0$. Desde $(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$ es un número entero, se tiene \begin{eqnarray} &&\lim_{n\to\infty}\sin[\pi(2+\sqrt{3})^n]\\ &=&\lim_{n\to\infty}\sin\bigg[\pi\big[(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n\big]-\pi(2-\sqrt{3})^n\bigg]\\ &=&\lim_{n\to\infty}\bigg\{\sin\bigg[\pi\big[(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n\big]\bigg]\cos\big[\pi(2-\sqrt{3})^n\big]\\ &&-\cos\bigg[\pi\big[(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n\big]\bigg]\sin\big[\pi(2-\sqrt{3})^n\big]\bigg\}\\ &=&0. \end{eqnarray}

Answer 2

Pista(s): $(2+\sqrt{3})^n$ está más cerca y más cerca de un entero como $n$ aumenta, ya que la $$ (2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n $$ es un número entero y $|2-\sqrt{3}|<\frac{1}{3}$. La función seno es una de Lipschitz continua en función de y $\sin(\pi m)=0$ para cualquier entero $m$, por lo tanto su límite es igual a cero.

Answer 3

desde $$ K(n)=(2+\sqrt3)^n+(2-\sqrt3)^n \in \mathbf{N} $$ $$\lim_{n\to ∞}(2-\sqrt3)^n=0$$ Usted puede hacer lo siguiente: $$\lim_{n\to ∞}\sin(\pi(2+\sqrt3)^n)=\lim_{n\to ∞}\sin(\pi(K(n)-(2-\sqrt3)^n))=-\lim_{n\to ∞}\sin(\pi(2-\sqrt3)^n)=0 $$