¿Por qué el complejo de función derivados?

Question

Lo siento si suena demasiado ignorante, no tengo un alto nivel de conocimiento en matemáticas.

La función de $f(z)=z^2$ (donde $z$ es un número complejo) tiene una derivada igual a $2z$.

Estoy muy confundido acerca de esto. Si definimos la derivada de $f(z)$ como el límite de $h$ enfoques $0$ (siendo $h$ un número complejo) de $(f(z+h)-f(z))/h$, entonces es claro que la derivada es $2z$, pero ¿qué significa esta derivados representan??

Además, no hemos de ser capaces de representar una función compleja en 4 dimensiones del espacio, desde nuestra entrada y salida de 2 variables de cada uno de ($z=x+iy$) y, a continuación, podríamos tomar derivadas direccionales...¿verdad?

Pero si definimos la derivada como la anterior, sería la misma si nos acercamos a ella desde todas las direcciones. Eso es lo que me molesta mucho.

Realmente agradecería cualquier explicación. Gracias!

Answer 1

Si definimos la derivada de $f(z)$ como el límite de $h$ enfoques $0$ (siendo $h$ un número complejo) de $(f(z+h)−f(z))/h$...

Eso es precisamente lo que hacemos.

entonces es claro que la derivada es $2z$, pero ¿qué significa esta derivados representan??

Así, representa lo que hemos definido: el límite de incremento de la relación, lo mismo que en el caso real. Probablemente te refieres a ¿cómo se puede interpretar este complejo derivado geométricamente o visualmente, como podemos interpretar la (real) de la derivada como la pendiente de la línea tangente... entonces, es cierto, no hay tal la interpretación visual.

Además, no hemos de ser capaces de representar una función compleja en 4 dimensiones del espacio, desde nuestra entrada y salida de 2 variables de cada uno ... y entonces podríamos tomar derivadas direccionales...¿verdad?

Bueno, sí, usted podría considerar la posibilidad de cada uno de los dos componentes (reales e imaginarios) de la variable y la función y, a continuación, obtendrá cuatro (real) de los derivados. Y, sí, en efecto es natural preguntarse cómo estos derivados están relacionados con los derivados complejos, y si hay algunos (necesaria y/o suficiente) restricciones en ellos de modo que el complejo de derivados, da el mismo valor sin importar la "dirección" (como uno quisiera). He aquí la de Cauchy–Riemann ecuaciones y holomorphic funciones.

Answer 2

Un complejo de valores de la función $f$ es diferenciable si cerca de un punto arbitrario $z_{0}$, la función de $f$ actúa como la multiplicación por un número complejo $f'(z_{0})$ en el sentido de que $$ f(z_{0} + h) = f(z_{0}) + h\, f'(z_{0}) + o(|h|). $$ Puesto que la multiplicación por un no-cero número complejo $$ \alpha = |\alpha| \exp(i\theta) $$ rota el plano (sobre el origen) a través de un ángulo de $\theta$ y escalas en el plano (sobre el origen) por un factor de $|\alpha|$, un complejo-función derivable es correctamente conformal (conserva la orientación y el ángulo) en cada punto donde la derivada es distinta de cero.

Usted está en lo correcto de que el dibujo de la gráfica de un complejo de valores de función de una variable compleja implica cuatro dimensiones del trazado. El dibujo de la imagen de un sistema de coordenadas Cartesiano, sin embargo, es perfectamente factible en el plano:

Cada mapa está definido por un par de reales polinomios cúbicos; el rojo curvas son las imágenes de líneas verticales; el azul curvas son imágenes de líneas horizontales. Los mapas difieren en el signo de uno de los componentes de la cúbico plazo. Un mapa es complejo diferenciable (o holomorphic), no lo es.

El holomorphic mapa envía un cuadrado de la cuadrícula a una "infinitesimalmente cuadrado de la cuadrícula". (Hay un punto crítico, cuya imagen es visualmente aparente.) El derivado $f'(z_{0})$ a un punto que determina el tamaño de la imagen (cuasi-)el cuadrado y el ángulo de rotación en comparación con el original Cartesiano de la plaza.

La no-holomorphic mapa envía un cuadrado de la cuadrícula a una cuadrícula de curvilínea paralelogramos que generalmente no son cuadrados. Esta es la manifestación geométrica de las derivadas direccionales en $z_{0}$ dependiendo de la dirección de aproximación a $z_{0}$: El sistema de coordenadas Cartesiano en el dominio "se estira y girado por diferentes cantidades en diferentes direcciones en un solo punto."

Answer 3

Deje $w=f(z) = z^2$. A continuación,$f(2+i)= 3+4i$$\dfrac{dw}{dz} = f'(z) = 2z$$f'(2+i) = 4+2i$.

Los medios infinitamente pequeño cambio en $z$,$2+i$$2+i+dz$, tiene un correspondiente infinitamente pequeño cambio en $w$,$3+4i$$3+4i + dw = 3+4i + (4+2i)\,dz$.

El cambio de $dz$ se multiplica por $4+2i$. Geométricamente, lo que es una multiplicación por $4+2i$? Tenemos $$ 4+ 2i = \sqrt{4^2 + 2^2}\ \left( \cos\theta+i\sin\theta \right) \text{ where } \theta = \arctan\frac 2 4. $$ Por lo tanto, multiplicando $dz$ $4+2i$ cantidades rotativos $dz$ a través de la que el ángulo de $\theta$ y multiplicando su valor absoluto por $\sqrt{4^2+2^2} = 2\sqrt{5} \approx 4.472.$

Answer 4

El complejo derivado no debería ser considerado como la representación de un "gradiente" como tal, sino como un conjunto de instrucciones para la aproximación de una función cerca de un punto donde es derivable.

---

Supongamos $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es complejo diferenciable en un punto de $z_{0}\in\mathbb{C}.$ Esto significa que el límite de $$\lim_{h\to0}\frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}$$ existe y es finito. A su vez, esto significa que debe haber algún error de "función" $\epsilon,$ $\epsilon(h)\to0$ $h\to0,$ tal que $$f(z_{0}+h)-f(z_{0}) = h[f^{\prime}(z_{0}) + \epsilon(h)].$$ Reorganización de esto, nos encontramos con que, por pequeño $\lvert h\rvert,$ $$f(z_{0}+h) = f(z_{0}) + hf^{\prime}(z_{0}) + h\epsilon(h).$$ Desde $\epsilon\to0$ $h\to0,$ podemos hacer una aproximación de tipo: al $\lvert h \rvert$ es pequeña, por lo que también es $\lvert \epsilon(h) \rvert.$ $\lvert h\epsilon(h) \rvert = \lvert h \rvert \lvert \epsilon(h) \rvert$ debe ser muy pequeña. El pensamiento de los números complejos como vectores en el plano (como en esta imagen), tenemos \begin{equation} f(z_{0}+h) \approx f(z_{0}) + hf^{\prime}(z_{0}), \end{equation} donde por "$\approx$" me refiero a los extremos puntiagudos de los vectores están muy juntos. Entonces, ¿qué significa todo esto?

Recordar que si se multiplica un número complejo $a$ por otro número complejo $b,$ el producto $ab$ tiene magnitud $\lvert a \rvert \lvert b \rvert$ y tiene un argumento de $\arg(a)+\arg(b).$ La aproximación anterior nos dice que si $z_{1}$ está cerca de a$z_{0},$, de modo que $z_{1}=z_{0}+h$ para algunos "pequeños" número $h,$ $$f(z_{1}) \approx f(z_{0}) + (z_{1}-z_{0})f^{\prime}(z_{0}).$$ Que es, para calcular el $f(z_{1})$ como un vector, que tome $f^{\prime}(z_{0})$ como un vector, de estirar (es decir, multiplicar su magnitud por $\lvert z_{1}-z_{0}\rvert$), rota (es decir, agregar los argumentos), y por último agregar en el vector $f(z_{0}).$

Entonces, ¿qué es el complejo de derivados? Es un complejo de factor de escala, al igual que el real derivado es un verdadero factor de escala. La única diferencia es que el complejo de los factores de escala para introducir rotaciones. Esto no debería ser considerado como la representación de un "gradiente" como tal, sino como un conjunto de instrucciones para la aproximación de una función cerca de un punto donde es derivable.

---

Para tomar un ejemplo concreto, la función de $f\colon z\mapsto z^{2}$ es diferenciable en el punto de $1+i$, y es derivado no es $2(1+i)$ (también es diferenciable en todas partes, sólo quiero un ejemplo concreto). Por lo anterior, esto significa que si yo tengo un complejo número de $z_{1}$ que está cerca de a $1+i,$ $z_{1}^{2}\approx (1+i)^{2} + (z_{1}-1-i)(2(1+i)),$ es decir, $$z_{1}^{2} \approx -2i + 2(1+i)z_{1}.$$ Podemos comprobar esto numéricamente: pongámonos de acuerdo en que $1.1+i$ está cerca de a $1+i.$ a Continuación, ajuste de $z_{1} = 1.1+ i$ da $$z_{1}^{2} = 0.21 + 2.2 i,$$ y mientras tanto $$-2i + 2(1+i)z_{1} = 0.2 + 2.2 i.$$ Creo que si estamos de acuerdo en que $1.1+i$ está cerca de a$1+i,$, entonces debemos también de acuerdo en que $0.2+2.2i$ está cerca de a $0.21+2.2i.$

Answer 5

El tratamiento de los complejos como dos dimensiones reales es una idea importante. Si nos relacionamos con el estándar de coordenadas como $z=x+\mathbf{i}y$, luego tendrías $\mathrm{d}z = \mathrm{d}x + \mathbf{i} \mathrm{d}y$. Es conveniente también utilizar $\mathrm{d}\bar{z} = \mathrm{d}x - \mathbf{i} \mathrm{d}y $.

Cada diferencial es una combinación lineal de $\mathrm{d}z$$\mathrm{d}\bar{z}$. El complejo de funciones diferenciables son aquellos para los cuales el coeficiente de $\mathrm{d}\bar{z}$ es cero, por lo que tenemos $\mathrm{d}f(z) = g(z) \mathrm{d} z $, y los llamaremos $g$ el complejo derivado de la $f$.

Es decir, el complejo de funciones diferenciables $f$ son para que la "tasa de cambio" en $f(z)$ es proporcional a la "tasa de cambio" en $z$.

---

Si prefieres las derivadas parciales diferenciales, definimos $$\frac{\partial }{\partial z} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} - \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial y} \right) \qquad \qquad \frac{\partial }{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} + \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial y} \right)$$ En cuanto a por qué estas fórmulas son como son, ellos son los que satisfacen $$ \frac{\partial z}{\partial z} = 1 \qquad \qquad \frac{\partial \bar{z}}{\partial z} = 0 $$ $$ \frac{\partial z}{\parcial \bar{z}} = 0 \qquad \qquad \frac{\partial \bar{z}}{\partial \bar{z}} = 1 $$

El complejo de funciones diferenciables son las verdaderas funciones diferenciables para que $$\frac{\partial f(z)}{\partial \bar{z}} = 0$$ de modo que la derivada está totalmente determinado por el derivado en el "$z$ dirección".

---

Cuando se trabaja con más funciones generales, es realmente algo útil para el tratamiento de $z$ $\bar{z}$ 'independiente' variables, por lo que usted puede hacer cálculos de manera más conveniente. por ejemplo, en lugar de trabajar con $|z|^2$, tendría que utilizar $z \bar{z}$, cuyo diferencial $\mathrm{d}(|z|^2)$ es fácil de calcular, como $z \mathrm{d}\bar{z} + \bar{z} \mathrm{d}z$. Esto puede ser más conveniente trabajar con ese $\mathrm{d}x$$\mathrm{d}y$, porque se llega a explotar complejos derivados y la aritmética.

En estos términos, el complejo de funciones diferenciables son precisamente las funciones que 'depende' sólo en $z$ e no $\bar{z}$.