Es el siguiente expresión de un número racional? $$\frac{1-\dfrac13+\dfrac15-\dfrac17+\cdots}{1+\dfrac14+\dfrac19+\dfrac1{16}+\cdots}$$ Mis pensamientos:
Sin embargo, la clave de respuestas dice que esto es no es un número racional. Alguien podría ayudarme a entender por qué este no es un número racional?
El numerador es la de Leibniz/Gregorio de la serie, que suma a $\frac\pi4$. El denominador es el tema del famoso problema de Basilea, que Euler trabajó como $\frac{\pi^2}6$. Si utilizamos estos resultados en la fracción: $$F=\frac{\frac\pi4}{\frac{\pi^2}6}=\frac{3}{2\pi}$$ que es un número irracional porque no sigue siendo un $\pi$.
Mis pensamientos: Suma y el producto de dos números racionales es un número racional.
La diferencia de dos números racionales es un número racional.
La división de dos números racionales también debe ser un número racional. (El denominador no es cero)
Estos sólo se aplican a finito número de operandos.
Es fácil ver que no se aplican en el caso infinito. Considerar, por ejemplo, cualquier $x \in [0, 1)$. Entonces
$$ x = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{n_k}{10^k} $$
donde $n_k$ $k^{th}$ dígito decimal de $x$. Así que cualquier $x \in [0,1)$ puede ser expresado como (posiblemente infinita) suma de racionales, pero, por supuesto, no todos los $x \in [0,1)$ es un racional.
Voy a mantener esta parte que tenía inicialmente presentado como una sugerencia.
$$1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{1}{2n+1}=\frac{\pi}{4}$$ $$1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$
Para añadir más a esta respuesta, me gustaría señalar que estos son bien conocidos secuencias, como ya se ha mencionado por Parcly Taxel. Sólo quiero aclarar un punto, la suma de una serie infinita de los números racionales no siempre poner un número racional como la suma. La primera serie es sólo la expansión de Taylor de $\arctan x$ $x=0$ y el segundo, recuerdo muy bien derivando el resultado de la serie de Fourier de la representación de $x^2$. También puede ser derivada como por Euler. Siempre tenga en cuenta que tener un número irracional en su expresión matemática ni confirma ni anula la posibilidad de que su expresión sumar a un irracional o número racional. Es el único y sólo depende de la suma.
Si las operaciones en DOS números racionales se obtiene un número racional, entonces esas mismas operaciones en un número finito de números racionales de los rendimientos de un número racional. Usted puede probar por inducción matemática. Pero que no se aplica a una suma de infinitos números. (Si lo hiciera, entonces usted puede probar por inducción matemática que cada countably conjunto infinito es finito.)
$$ \frac d {dx} \left( x - \frac {x^3} 3 + \frac{x^5} 5 - \frac {x^7} 7 + \cdots\right) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots = \frac 1 {1+x^2} $$ (ya que estamos suma de una serie geométrica), y por lo tanto $$ x - \frac {x^3} 3 + \frac{x^5} 5 - \frac {x^7} 7 + \cdots = \arctan x, $$ así que si $x=1$ usted obtiene la serie en el numerador, que es, por tanto, $(\arctan 1) = \dfrac\pi4.$
La serie en el denominador es mucho más difícil de suma, pero debe venir a $\dfrac{\pi^2} 6.$
He omite algunos detalles: en particular, la derivada de una suma de DOS funciones es la suma de los derivados, y por lo tanto el mismo es cierto de la suma de un número finito, pero, ¿qué acerca de la infinidad? A veces no trabajo allí, así que hay una cierta teoría de la energía de la serie a tratar.
La suma de 2 números racionales es racional
La suma de un número finito de números racionales es racional.
Pero, una serie infinita de los números racionales puede o no puede ser racional.
No podemos simplemente seguir sumando 2 a la vez y seguir así?
No.
Aquí hay otro ejemplo, que tal vez le ayudará a conseguir su cabeza alrededor.
Espero que podamos estar de acuerdo en que $\pi$ es irracional. y que los primeros dígitos de la expansión decimal de $\pi$ $3.14159$ pero $3.14159$ es racional. De hecho, cualquier finito de expansión de $\pi$ es racional. Podemos añadir más dígitos.
$3.14159 + 0.0000026 = 3.1415926$
Y la adición de dígitos es una suma de números racionales.
Pero es sólo cuando aceptamos que es el infinito que no se repiten decimal que nosotros tenemos el número irracional que es $\pi$
Si no, ¿cómo se prueba?
Veamos el numerador.
$1-\frac 13 + \frac 15 - \frac 17+ \cdots$
Ahora, usted puede reconocer esto como la expansión de Taylor de $\tan^{-1} 1$
Pero es posible que no.
Si es racional, entonces existe entero $p,q$ tal que $\frac pq = \sum \frac {(-1)^n}{2n+1}.$
Si esto va a resumir a una sola fracción, ¿cuál es el denominador común?
Es $lcm (3,5,7,9,11\cdots)$ Ya tenemos cada número impar, tenemos el primer número (distinto de 2), y el lcm es infinito.
¿Demuestra esto que la suma es irracional? Por desgracia, no. Pero se debe establecer señales de que podría ser. Y, ciertamente, a partir del inicio de la adición de las sumas parciales, vemos una fracción de lo que se está volviendo cada vez más difícil de manejar.
Así, tenemos un número irracional / número irracional. Es posible que con sólo la información que el cociente es racional, pero es poco probable.
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